Giải thích chi tiết Bài 3. Lũy thừa của một số hữu tỉ lớp 7: Lý thuyết, ví dụ và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Bài 3. Lũy thừa của một số hữu tỉ là một trong những chủ đề nền tảng và rất quan trọng của chương trình Toán lớp 7. Đây là kiến thức cơ bản nhưng cần thiết để học tốt các phần sau như khai căn, phương trình, bất phương trình, đặc biệt ứng dụng trong tính toán nhanh, rút gọn, toán thực tiễn. Hiểu rõ lũy thừa sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán, làm chủ đại số, đạt kết quả tốt trong các kỳ kiểm tra, và giải quyết nhiều vấn đề thực tế trong cuộc sống.

Tại MathX, bạn có cơ hội luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập Bài 3. Lũy thừa của một số hữu tỉ miễn phí, dễ dàng củng cố và nâng cao kiến thức của mình.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Với $a$ là số hữu tỉ, $n$ là số tự nhiên ( $n > 1$ ), lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số đều bằng $a$ . Ký hiệu: $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{thừa số}}$ .

• Các định lý, tính chất cơ bản:

-$a^1 = a$

-$a^0 = 1$(với$a \neq 0$)

• Điều kiện áp dụng:$a$là số hữu tỉ,$n$là số nguyên không âm ($n \geq 0$).

2.2 Công thức và quy tắc

Danh sách các công thức cần nhớ:

- Lũy thừa cùng cơ số:

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

- Phép chia lũy thừa cùng cơ số:

$a^m: a^n = a^{m-n}$(với$a \neq 0$)

- Lũy thừa của lũy thừa:

$(a^m)^n = a^{m \times n}$

- Lũy thừa của tích:

$(a \times b)^n = a^n \times b^n$

- Lũy thừa của thương:

$\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \ (b \neq 0)$

Cách ghi nhớ: Học thuộc, luyện tập nhiều bài tập đa dạng. Hiểu ý nghĩa công thức, không học thuộc máy móc.

Điều kiện sử dụng: Chú ý các điều kiện cơ bản đã nêu, đặc biệt chú ý mẫu số phải khác 0.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tính$(\frac{2}{3})^4$.

Bước 1: Viết theo định nghĩa:$(\frac{2}{3})^4 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}$

Bước 2: Tính tử và mẫu riêng biệt:$2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$;$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

Bước 3: Kết quả:$(\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$

Lưu ý: Luôn nhớ mẫu khác 0.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Rút gọn biểu thức$A = (\frac{3}{4})^5 \times (\frac{4}{3})^2: (\frac{3}{4})^3$.

Giải:

- Sử dụng quy tắc lũy thừa cùng cơ số:

$A = (\frac{3}{4})^5: (\frac{3}{4})^3 \times (\frac{4}{3})^2 = (\frac{3}{4})^{5-3} \times (\frac{4}{3})^2 = (\frac{3}{4})^2 \times (\frac{4}{3})^2$

- Sử dụng quy tắc lũy thừa của tích:

$A = [(\frac{3}{4}) \times (\frac{4}{3})]^2 = 1^2 = 1$

Kỹ thuật giải nhanh: Luôn kiểm tra xem có thể đưa về cùng cơ số/lũy thừa và sử dụng tính chất để rút gọn tối đa.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Trường hợp số mũ là 0:$a^0 = 1$(với$a \neq 0$)

- Số mũ là 1:$a^1 = a$

- Khi cơ số là số âm: Nếu số mũ chẵn, kết quả dương; số mũ lẻ, kết quả âm. Ví dụ $(-2)^4 = 16$,$(-2)^3 = -8$.

- Lũy thừa của số nghịch đảo:$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$;$(\frac{b}{a})^n = \frac{b^n}{a^n}$.

- Liên hệ: Lũy thừa hữu tỉ là nền tảng để học căn bậc hai, logarit, phương trình mũ ở các lớp trên.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa phép nhân thường và lũy thừa.

- Hiểu sai về lũy thừa số $0$, số $1$, số âm.

Cách tránh: Đọc kỹ định nghĩa, luyện tập nhiều ví dụ.

5.2 Lỗi về tính toán

- Áp dụng sai quy tắc lũy thừa khi cơ số hoặc số mũ khác nhau.

- Sai sót khi nhân hoặc chia các số hữu tỉ.

Cách tránh: Cẩn thận tính từng bước, kiểm tra lại bằng phép thay số.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay kho 42.226+ bài tập Bài 3. Lũy thừa của một số hữu tỉ miễn phí tại MathX. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ học tập để cải thiện kỹ năng của bạn.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Nắm vững định nghĩa và các quy tắc lũy thừa.

• Luyện tập nhiều, đặc biệt là bài tập áp dụng công thức và rút gọn biểu thức lũy thừa.

• Checklist trước khi làm bài: Đọc kĩ đề, xác định đúng công thức và điều kiện áp dụng, tính toán cẩn thận mẫu - tử và kiểm tra kết quả.

• Ôn tập định kỳ để ghi nhớ công thức lâu dài và tăng phản xạ toán học.