Giải thích chi tiết về Tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận (Toán lớp 7)

1. Giới thiệu

Một trong những kiến thức quan trọng nhất của chương trình Toán 7 là "Tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận". Đây là nền tảng không chỉ để học tốt môn Toán trong suốt bậc Trung học cơ sở, mà còn giúp các em hiểu và áp dụng vào nhiều tình huống thực tế đời sống. Đại lượng tỉ lệ thuận xuất hiện rất nhiều trong quá trình giải bài toán về tỉ lệ, chuyển đổi, đơn giá, quy về đơn vị... Vì vậy, việc nắm chắc các tính chất cơ bản là điều kiện bắt buộc để tiếp cận các chủ đề quan trọng tiếp theo.

2. Định nghĩa chi tiết đại lượng tỉ lệ thuận

Hai đại lượng gọi là tỉ lệ thuận với nhaunếu khi đại lượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần. Nếu ký hiệu hai đại lượng đó là $x$và $y$, thì $y$tỉ lệ thuận với$x$khi tồn tại một số $k \neq 0$sao cho:

Trong đó $k$gọi là hệ số tỉ lệ. Giá trị $k$không thay đổi trong cùng một bài toán.

3. Các tính chất cơ bản của đại lượng tỉ lệ thuận

- Khi$x$tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì $y$cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.
- Tỉ số hai giá trị tương ứng của$y$bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của$x$.

Công thức:

Nếu$y_1 = kx_1$và $y_2 = kx_2$thì:$\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2}$

4. Giải thích qua ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Nếu mua 2 chiếc bút hết 10.000 đồng thì mua 5 chiếc bút sẽ hết bao nhiêu tiền (giả sử giá mỗi bút không đổi)?

Giải:
- Gọi $x$ là số chiếc bút, $y$ là số tiền phải trả.
- Ta có: $y$ tỉ lệ thuận với $x$ vì mỗi chiếc bút giá không đổi.
- Với 2 bút: $y_1 = 10.000$ (đồng), $x_1 = 2$ .
- Với 5 bút: $x_2 = 5$ , $y_2$ là số tiền cần tìm.
Áp dụng tính chất tỉ lệ thuận:

Nhận xét: Khi số bút tăng lên 2,5 lần (từ 2 lên 5), số tiền cũng tăng 2,5 lần.

Ví dụ 2: Một công ty sản xuất mỗi ngày được 200 sản phẩm, tổng số sản phẩm sẽ là bao nhiêu nếu công ty hoạt động trong 8 ngày?

- Gọi$x$là số ngày,$y$là tổng số sản phẩm.
- Áp dụng công thức$y = kx$với$k = 200$.
- Với$x = 8$thì $y = 200 \times 8 = 1.600$(sản phẩm).

5. Các trường hợp đặc biệt & lưu ý khi áp dụng

- Hệ số tỉ lệ $k$phải khác 0. Nếu$k = 0$,$y$luôn bằng 0, không còn mối quan hệ tỉ lệ thuận.
- Nếu một trong hai đại lượng không đổi, chúng không phải là tỉ lệ thuận.
- Khi$x$là số âm,$y$cũng sẽ là số âm (nếu$k >0$).

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Tỉ lệ thuận là trường hợp đặc biệt của hàm số bậc nhất ($y = ax$).
- Tỉ lệ thuận có quan hệ ngược với tỉ lệ nghịch ($y = \frac{k}{x}$).
- Vận dụng các tính chất tỉ lệ để giải các bài toán phần trăm, tam suất, chuyển đổi đơn vị, v.v.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho biết$y$tỉ lệ thuận với$x$và $x = 3$,$y = 6$. Hãy tìm hệ số tỉ lệ $k$.

Giải: Dựa vào định nghĩa$y = kx$, thay số vào:
$6 = k \times 3 \Rightarrow k = 2$

Bài 2: Một loại xe đi với vận tốc 40 km/h thì đi hết quãng đường trong 2 giờ. Nếu đi với vận tốc 60 km/h thì đi hết quãng đường trong mấy giờ, biết quãng đường không đổi?

Lời giải:
- Gọi$x_1 = 40$(km/h),$t_1 = 2$(giờ),$x_2 = 60$(km/h),$t_2$(giờ) là số cần tìm.
- Do quãng đường không đổi:$quãng \ đường = x \times t = \text{const}$
-$x$và $t$là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. (Chú ý trường hợp này không dùng tính chất tỉ lệ thuận)

Bài 3: Cho hai đại lượng$x$và $y$. Bảng sau cho biết các giá trị của$x$. Hãy điền các giá trị tương ứng vào bảng biết$y$tỉ lệ thuận với$x$và $k = 5$.
$x$| 1 | 2 | 3 | 4
$y$| | | |

Lời giải: Dùng công thức$y = kx$, lấy$k = 5$:

Kết quả:$y_1 = 5 \times 1=5$;y_2=5 \times 2=10;y_3=5 \times 3=15;$y_4=5 \times 4=20$

Bảng hoàn chỉnh:
$x$| 1 | 2 | 3 | 4
$y$| 5 | 10 | 15 | 20

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch (ví dụ ở bài 2 trên).
- Quên kiểm tra giả thiết$k \neq 0$.
- Áp dụng tính chất tỉ lệ thuận khi một đại lượng không đổi (sai).
- Lấy sai giá trị $k$hoặc nhầm dữ kiện dẫn đến giải sai.

9. Tóm tắt và các điểm cần nhớ

• Hai đại lượng$x$và $y$tỉ lệ thuận khi$y = kx$($k \neq 0$).
• Khi$x$tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì $y$cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.
•$\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2}$cho mọi giá trị tương ứng.
• Cần phân biệt rõ tỉ lệ thuận với các mối quan hệ tỉ lệ khác.