1. Giới thiệu về lũy thừa với số mũ nguyên âm

Trong chương trình toán học lớp 7, bên cạnh các phép toán với số hữu tỉ, các bạn sẽ được gặp khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên âm. Đây là một kiến thức quan trọng, giúp học sinh hiểu sâu hơn về bản chất của các phép toán bậc cao, đồng thời liên hệ trực tiếp đến các bài toán thực tế cũng như các chủ đề quan trọng hơn ở bậc học cao hơn như đại số và giải tích.

2. Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên âm

Trong toán học, với một số hữu tỉ $a$(khác$0$) và số nguyên dương$n$, lũy thừa bậc$n$của$a$có dạng$a^n = a \times a \times \cdot s \times a$($n$thừa số). Nhưng với số mũ nguyên âm thì sao?

Định nghĩa: Với$a \ne 0$và $n$là số nguyên dương, ta quy ước:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Như vậy, lũy thừa với số mũ là số nguyên âm biểu thị nghịch đảo của lũy thừa với số mũ dương tương ứng.

3. Giải thích chi tiết qua ví dụ

Hãy cùng xem các ví dụ sau để hiểu rõ hơn:

• Ví dụ 1: Tính$2^{-3}$

Áp dụng định nghĩa:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

• Ví dụ 2: Tính$\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}$

Áp dụng định nghĩa:

$\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \frac{1}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{1}{\frac{9}{16}} = \frac{16}{9}$

• Ví dụ 3: Tính$5^{-1}$

$5^{-1} = \frac{1}{5}$

4. Những trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$(điều kiện$a \ne 0$,$b \ne 0$)

• Lũy thừa với số mũ $0$có giá trị là $1$, tức$a^0 = 1$với$a \ne 0$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Nắm vững lũy thừa với số mũ nguyên âm giúp các bạn:

6. Bài tập mẫu kèm lời giải chi tiết

Giải:

Giải: Dựa vào quy tắc:

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$

Nên:

$\left(\frac{3}{7}\right)^{-2} = \left(\frac{7}{3}\right)^2$

Do đó hai biểu thức này bằng nhau.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm dấu trừ của mũ với dấu trừ của cơ số.

Ví dụ:$(-3)^{-2}$khác với$-3^{-2}$. Hãy sử dụng ngoặc để xác định rõ ràng cơ số.

Ví dụ:$\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$, không phải$\frac{4}{9}$.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Lũy thừa với số mũ nguyên âm là nghịch đảo của lũy thừa với số mũ dương:$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$($a \ne 0$).
• Phân số mũ âm thì đảo ngược và đổi dấu mũ:$\left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^n$.
• Luôn xác định rõ cơ số (dùng ngoặc nếu cần thiết).
• Kiểm tra chặt chẽ điều kiện khi áp dụng: cơ số khác không.
• Biết vận dụng vào các bài toán rút gọn, tính giá trị biểu thức, giải phương trình cơ bản.

Hiểu đúng và sâu về lũy thừa số mũ nguyên âm sẽ giúp các bạn học tốt Đại số, giải phương trình, xử lý số lớn nhỏ, tạo nền tảng vững chắc cho các lớp trên. Hãy làm thêm nhiều bài tập để luyện kỹ năng ứng dụng kiến thức này.