Nhận biết ba đường cao của tam giác – Lý thuyết, Ví dụ và Luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình toán lớp 7, "Nhận biết ba đường cao của tam giác" là một kiến thức hình học cơ bản và đóng vai trò cực kỳ quan trọng. Hiểu đúng về ba đường cao giúp học sinh nhận diện, vẽ hình chính xác cũng như vận dụng trong các bài toàn thực tế: dựng cột cờ vuông góc mặt đất, xác định điểm tối ưu, ứng dụng trong vẽ kỹ thuật... Ngoài ra, nắm vững chủ đề này giúp bạn giải quyết nhanh gọn nhiều bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Bạn còn có cơ hội luyện tập miễn phí với hàng trăm bài tập phân loại ngay sau khi học lý thuyết.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh, vuông góc với cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đó). Mỗi tam giác có 3 đường cao xuất phát từ 3 đỉnh khác nhau.

• Ký hiệu: Gọi tam giác$ABC$, các đường cao hạ từ các đỉnh$A, B, C$lần lượt là $h_a, h_b, h_c$. Các chân đường cao tương ứng là $H_a, H_b, H_c$.

• Tính chất: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm duy nhất gọi là trực tâm.

• Điều kiện áp dụng: Đường cao luôn xác định được với mọi tam giác, kể cả tam giác tù, tam giác nhọn hay tam giác vuông.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức tính chiều cao (đường cao) khi biết diện tích và cạnh đáy:

Nếu đường cao$h_a$tương ứng với cạnh đáy$a$(cạnh$BC$), thì:

$h_a = \frac{2S}{a}$

với$S$là diện tích tam giác,$a$là độ dài cạnh đáy.

• Để ghi nhớ dễ: Đường cao luôn đi từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện. Nhớ từ khoá: “đỉnh, vuông góc, cạnh đối diện”.

• Điều kiện sử dụng công thức: Phải biết diện tích tam giác và chiều dài cạnh đáy tương ứng với đường cao cần tìm.

• Biến thể: Từ đường cao, bạn có thể tính diện tích tam giác hoặc ngược lại.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho tam giác$ABC$. Hãy chỉ ra ba đường cao của tam giác này.

Lời giải:

- Đường cao$h_a$kẻ từ đỉnh$A$xuống cạnh$BC$sao cho$h_a$vuông góc với$BC$tại điểm$H_a$.
- Đường cao$h_b$kẻ từ đỉnh$B$xuống cạnh$AC$sao cho$h_b$vuông góc với$AC$tại điểm$H_b$.
- Đường cao$h_c$kẻ từ đỉnh$C$xuống cạnh$AB$sao cho$h_c$vuông góc với$AB$tại điểm$H_c$.

Lưu ý: Với mỗi đường cao, luôn xác định rõ đỉnh xuất phát và cạnh đối diện. Đường cao có thể nằm ngoài tam giác nếu tam giác tù.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Tam giác$ABC$có $AB = 5 \text{cm}$,$BC = 6 \text{cm}$,$CA = 7 \text{cm}$, diện tích$S = 14.7 \text{cm}^2$. Hãy tính độ dài các đường cao$h_a$,$h_b$,$h_c$tương ứng với các cạnh$a=BC$,$b=CA$,$c=AB$.

- Đường cao$h_a$tương ứng với cạnh$BC$:
$h_a = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \times 14.7}{6} = 4.9 \text{cm}$

- Đường cao$h_b$tương ứng với cạnh$CA$:
$h_b = \frac{2S}{CA} = \frac{2 \times 14.7}{7} = 4.2 \text{cm}$

- Đường cao$h_c$tương ứng với cạnh$AB$:
$h_c = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \times 14.7}{5} = 5.88 \text{cm}$

Lưu ý giải nhanh: Chỉ cần áp dụng đúng công thức, thay số cẩn thận, kiểm tra lại kết quả!

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu tam giác là tam giác vuông: Một đường cao trùng với một cạnh góc vuông, hai đường cao còn lại là đường vuông góc với các cạnh còn lại.

• Nếu tam giác là tam giác đều: Ba đường cao bằng nhau và giao nhau tại trọng tâm trùng với trực tâm.

• Điều kiện ngoại lệ: Đối với tam giác tù, đường cao có thể nằm ngoài tam giác.

Mối liên hệ: Đường cao còn liên quan đến các khái niệm khác như trực tâm, trọng tâm, trung tuyến,...

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

5.2 Lỗi về tính toán

Cách kiểm tra: Đối chiếu giữa ba cách tính đường cao, kiểm tra số học và tính thực tế (ví dụ đường cao không thể lớn hơn cạnh đáy).

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập ngay bộ 42.226+ bài tập Nhận biết ba đường cao của tam giác miễn phí.

- Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

- Hệ thống tự động giúp bạn theo dõi tiến độ học tập và nhận phản hồi lập tức để cải thiện kiến thức và kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Checklist khi ôn tập:

Chúc các bạn học tốt và luyện tập thật hiệu quả với bộ bài tập Nhận biết ba đường cao của tam giác miễn phí!