Blog

Nhận biết ba đường cao của tam giác – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 7

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Chủ đề "Nhận biết ba đường cao của tam giác" là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình Toán học lớp 7. Hiểu rõ khái niệm và tính chất của ba đường cao giúp học sinh làm chủ nhiều bài toán hình học cơ bản cũng như nâng cao.

Ba đường cao của một tam giác không chỉ là kiến thức nền tảng để học tiếp các phần chuyên sâu hơn về hình học, mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế và giúp rèn luyện tư duy hình học logic. Đặc biệt, các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 hoặc thi học sinh giỏi đều thường xuyên xuất hiện dạng bài này.

Khi hiểu vững khái niệm này, bạn sẽ dễ dàng nhận biết, vẽ, tính toán và giải quyết các vấn đề liên quan nhanh hơn và chính xác hơn. Ngoài ra, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226 bài tập thực hành phong phú ngay tại đây để nâng cao kỹ năng!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh vuông góc với cạnh đối diện (hoặc phần kéo dài của cạnh đối diện).

- Trong một tam giác có ba đường cao, mỗi đường xuất phát từ một đỉnh và hạ vuông góc xuống cạnh đối diện.

- Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm của tam giác.

- Mỗi loại tam giác sẽ có vị trí trực tâm khác nhau, có thể nằm trong, trên cạnh hoặc ngoài tam giác.

- Điều kiện áp dụng: Áp dụng cho mọi tam giác (không phân biệt tam giác nhọn, vuông, tù).

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức tính độ dài đường caohah_atừ đỉnhAAxuống cạnhBCBC:

ha=2SBCh_a = \frac{2S}{BC}

Trong đó SSlà diện tích tam giácABCABC.

- Tương tự, ta có hb=2SACh_b = \frac{2S}{AC}hc=2SABh_c = \frac{2S}{AB}.

- Mẹo ghi nhớ: Đường cao nào thì mẫu số là cạnh đối diện với đỉnh đó.

Hình minh họa: Minh họa vị trí trực tâm H trong ba loại tam giác ABC: tam giác nhọn (H nằm trong tam giác), tam giác vuông (H trùng với đỉnh A, nằm trên cạnh bên), và tam giác tù (H nằm ngoài tam giác).
Minh họa vị trí trực tâm H trong ba loại tam giác ABC: tam giác nhọn (H nằm trong tam giác), tam giác vuông (H trùng với đỉnh A, nằm trên cạnh bên), và tam giác tù (H nằm ngoài tam giác).

- Điều kiện sử dụng: Biết diện tích tam giác và độ dài các cạnh.

- Nếu biết tọa độ các điểm, có thể sử dụng kiến thức hình học tọa độ để tính phương trình đường cao.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho tam giácABCABCvuông tạiAA,AB=3AB = 3cm,AC=4AC = 4cm. Hãy xác định ba đường cao của tam giác.

Bước 1: Xác định cạnh còn lại

Áp dụng định lý Pythagoras:

BC=AB2+AC2=32+42=5 cmBC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \text{cm}

Bước 2: Tính diện tíchSS

S=12×AB×AC=12×3×4=6 cm2S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\ \text{cm}^2

Bước 3: Tính các đường cao

hah_atừ AAxuốngBCBC:

ha=2SBC=2×65=2.4 cmh_a = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \times 6}{5} = 2.4\ \text{cm}

Tương tự,hbh_btừ BBxuốngACAChch_ctừ CCxuốngABAB:

hb=2SAC=124=3 cmh_b = \frac{2S}{AC} = \frac{12}{4} = 3\ \text{cm}

hc=2SAB=123=4 cmh_c = \frac{2S}{AB} = \frac{12}{3} = 4\ \text{cm}

Hình minh họa: Minh họa tam giác ABC với A(1,1), B(5,2), C(3,5), ba đường cao AA', BB', CC' đồng quy tại trực tâm H; các chân đường cao A', B', C' được đánh dấu
Minh họa tam giác ABC với A(1,1), B(5,2), C(3,5), ba đường cao AA', BB', CC' đồng quy tại trực tâm H; các chân đường cao A', B', C' được đánh dấu

Lưu ý: Khi tam giác vuông, một đường cao trùng với cạnh góc vuông.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho tam giácDEFDEFDE=7DE = 7cm,EF=8EF = 8cm,FD=9FD = 9cm. Tính đường cao hạ từ DDxuốngEFEF.

Giải

a) Tính diện tích tam giácDEFDEFbằng công thức Heron:

p=7+8+92=12p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12

S=12×(127)×(128)×(129)=12×5×4×3=72026.83 cm2S = \sqrt{12 \times (12 - 7) \times (12 - 8) \times (12 - 9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26.83\ \text{cm}^2

b) Tính đường caohDh_D:

hD=2SEF=2×26.8386.71 cmh_D = \frac{2S}{EF} = \frac{2 \times 26.83}{8} \approx 6.71\ \text{cm}

Kỹ thuật giải nhanh: Nếu có SSvà độ dài cạnh, luôn áp dụng công thứch=2Scnhh = \frac{2S}{cạnh} để tìm đường cao.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Tam giác vuông: Có hai đường cao trùng với hai cạnh góc vuông.

- Tam giác đều: Ba đường cao bằng nhau, trực tâm trùng với trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp.

- Tam giác tù: Trực tâm nằm ngoài tam giác. Khi vẽ đường cao phải kéo dài cạnh đối diện.

- Mối liên hệ: Ba đường cao giao nhau tại trực tâm, khác với trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp,...

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

Hình minh họa: Minh họa định nghĩa đường cao trong tam giác ABC: đoạn CH từ đỉnh C vuông góc với cạnh đối diện AB tại điểm H
Minh họa định nghĩa đường cao trong tam giác ABC: đoạn CH từ đỉnh C vuông góc với cạnh đối diện AB tại điểm H

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn đường cao với đường trung tuyến hoặc phân giác.

- Đường cao luôn vuông góc với cạnh đối diện, nhớ ký hiệu\perp!

- Phân biệt: Đường trung tuyến đi qua trung điểm, phân giác chia góc, còn đường cao vuông góc với cạnh đối diện.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên đổi đơn vị đo độ dài. Khi tính diện tích phải chú ý cùng đơn vị.

- Sai khi tínhSShoặc chọn nhầm cạnh đối diện khi áp dụng công thức.

- Kiểm tra lại đến kết quả cuối cùng bằng cách thay ngược vào12×cnh×đường\cao=S\frac{1}{2} \times cạnh \times đường\cao = S.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập ngay 42.226+ bài tập Nhận biết ba đường cao của tam giác miễn phí.

- Không cần đăng ký, luyện tập ngay lập tức trên hệ thống.

- Theo dõi tiến độ, nhận hướng dẫn giải chi tiết và cải thiện kỹ năng từng ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Đường cao là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh vuông góc với cạnh đối diện.

- Ba đường cao giao nhau tại trực tâm.

- Công thức cơ bản:ha=2SBCh_a = \frac{2S}{BC},hb=2SACh_b = \frac{2S}{AC},hc=2SABh_c = \frac{2S}{AB}.

- Nhận diện, ghi nhớ điểm khác biệt với các đoạn thẳng đặc biệt khác của tam giác.

- Luôn kiểm tra lại kết quả và luyện tập thường xuyên.

Checklist ôn tập: Định nghĩa, tính chất, công thức, nhận diện đường cao qua các dạng tam giác, luyện nhiều bài tập.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".