Nhận biết dãy tỉ số bằng nhau: Khái niệm, cách giải và bài tập theo chương trình Toán lớp 7

1. Giới thiệu chung về dãy tỉ số bằng nhau và ý nghĩa trong Toán học lớp 7

Trong chương trình Toán lớp 7, khái niệm dãy tỉ số bằng nhau là một trong những phần kiến thức quan trọng giúp học sinh nắm vững mối liên hệ giữa các đại lượng tỉ lệ hoặc giữa các phân số. Nhờ đó, học sinh dễ dàng vận dụng vào các bài toán giải tỉ số, tìm x hoặc chứng minh các đẳng thức toán học. Việc nhận biết dãy tỉ số bằng nhau còn là nền tảng để học sinh học tập các vấn đề phức tạp hơn như giải hệ phương trình, rút gọn biểu thức, hoặc các bài toán thực tế có sử dụng các đại lượng liên quan.

2. Định nghĩa dãy tỉ số bằng nhau

Dãy tỉ số bằng nhau là một dãy gồm nhiều tỉ số (phân số) mà tất cả các tỉ số đó đều bằng nhau. Dưới dạng ký hiệu, ta có dãy tỉ số bằng nhau như sau:

Nếu:

$<br />\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdot s = \frac{a_n}{b_n}<br />$

thì ta gọi$\frac{a_1}{b_1}$,$\frac{a_2}{b_2}$,...,$\frac{a_n}{b_n}$là một dãy tỉ số bằng nhau.

Trong đó,$b_1, b_2,..., b_n \neq 0$ để tránh trường hợp mẫu số bằng 0.

3. Cách nhận biết và áp dụng dãy tỉ số bằng nhau qua ví dụ minh họa

Để nhận biết và áp dụng dãy tỉ số bằng nhau, học sinh thực hiện các bước sau:

• Nhận diện các phân số trong bài toán có thể đưa về dạng tỉ số.
• Xem xét mối liên hệ giữa các tỉ số đó, có thể đều bằng một giá trị chung (thường là một ẩn số hoặc giá trị biết trước).
• Sử dụng các phép biến đổi đại số: quy đồng mẫu, nhân chéo, hoặc các phép cộng/trừ các tử/mẫu tương ứng.

Ví dụ 1: Cho$\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7}$. Chứng minh rằng:

$<br />x: y: z = 3: 5: 7<br />$

Giải:

Theo giả thiết, ta có $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7} = k$(trong đó k là giá trị bằng nhau của các tỉ số).

Suy ra:$x = 3k$,$y = 5k$,$z = 7k$.

Vậy$x: y: z = 3k: 5k: 7k = 3: 5: 7$(vì cùng chia cho k,$k \neq 0$).

Từ ví dụ này, ta thấy việc nhận biết các tỉ số có thể đưa về một giá trị chung là chìa khóa chính để giải quyết vấn đề.

4. Trường hợp đặc biệt và lưu ý khi sử dụng dãy tỉ số bằng nhau

- Chỉ sử dụng dãy tỉ số bằng nhau khi tất cả mẫu số đều khác 0.
- Chỉ nên áp dụng phương pháp này khi các tỉ số thực sự có thể quy về bằng nhau, nếu không sẽ dẫn đến sai lầm trong biến đổi toán học.
- Đôi khi, các phân số trong dãy tỉ số bằng nhau chứa biến hoặc ký hiệu phức tạp, học sinh cần kiểm tra kĩ trước khi xử lý.
- Nếu chỉ có hai tỉ số bằng nhau, có thể áp dụng phương pháp nhân chéo để giải:

$<br />\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc<br />$

- Nếu có nhiều hơn hai tỉ số, có thể áp dụng tính chất: “Tổng (hoặc hiệu) các tử số chia cho tổng (hoặc hiệu) các mẫu số cũng bằng giá trị chung”:

$<br />\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdot s = \frac{a_n}{b_n} = k<br />$

$<br /> \Rightarrow \frac{a_1 + a_2 + \cdot s + a_n}{b_1 + b_2 + \cdot s + b_n} = k<br />$

5. Dãy tỉ số bằng nhau và mối liên hệ với các khái niệm khác

- Dãy tỉ số bằng nhau là bước mở rộng của tỉ lệ thức (dạng$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$), khi có nhiều hơn hai phân số.
- Có thể chuyển dãy tỉ số bằng nhau thành các phương trình đại số đơn giản để giải bài toán tìm ẩn số.
- Dãy tỉ số bằng nhau liên quan chặt chẽ đến quy tắc tam suất, giải tỉ số phần trăm, hoặc các bài toán chia theo tỉ lệ.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho dãy tỉ số bằng nhau$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$và $x + y + z = 20$. Tìm giá trị của x, y, z.

Lời giải:

Đặt$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k$.

Từ đó suy ra:$x = 2k$,$y = 3k$,$z = 5k$.

Theo đề bài:$x + y + z = 2k + 3k + 5k = 10k = 20 \Rightarrow k = 2$.

Vậy:$x = 2 \cdot 2 = 4$,$y = 3 \cdot 2 = 6$,$z = 5 \cdot 2 = 10$.

Bài tập 2: Cho dãy tỉ số bằng nhau$\frac{a}{4} = \frac{b}{6} = \frac{c}{8}$. Nếu$a + b + c = 36$, hãy tính giá trị của từng đại lượng.

Lời giải:

Đặt$\frac{a}{4} = \frac{b}{6} = \frac{c}{8} = k$.

Suy ra:$a = 4k$,$b = 6k$,$c = 8k$.

$a + b + c = 4k + 6k + 8k = 18k = 36 \Rightarrow k = 2$.

Vậy:$a = 8$,$b = 12$,$c = 16$.

Bài tập 3: Biết rằng$\frac{m}{2} = \frac{n}{3}$và $m - n = 4$. Tìm$m, n$.

Lời giải:

Đặt$\frac{m}{2} = \frac{n}{3} = k \Rightarrow m = 2k, n = 3k$.

Theo đề:$m - n = 4 \Rightarrow 2k - 3k = 4 \Rightarrow -k = 4 \Rightarrow k = -4$.

Vậy:$m = 2k = -8$,$n = 3k = -12$.

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên kiểm tra điều kiện mẫu số khác 0.
• Đặt giá trị bằng nhau k nhưng quên thay đúng vào phương trình tổng (hoặc hiệu) tử - mẫu.
• Sử dụng tính chất tổng (hiệu) chỉ khi tất cả các tỉ số đúng cùng giá trị.
• Nhận nhầm, hoặc không đủ điều kiện để kết luận các tỉ số thực sự bằng nhau.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Dãy tỉ số bằng nhau là tập hợp các phân số đều bằng nhau.
• Có thể đặt cùng bằng giá trị k, từ đó tính được các ẩn số.
• Sử dụng tính chất tổng (hoặc hiệu) hợp lý khi giải toán.
• Luôn kiểm tra điều kiện mẫu số khác 0.
• Hiểu và vận dụng linh hoạt mối liên hệ giữa dãy tỉ số bằng nhau và tỉ lệ thức.