Blog

Nhận biết đường trung trực của một đoạn thẳng: Lý thuyết, ví dụ chi tiết và luyện tập miễn phí

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc
1. Giới thiệu và tầm quan trọng của đường trung trực đoạn thẳng trong toán lớp 7

Trong chương trình toán lớp 7, "Nhận biết đường trung trực của một đoạn thẳng" là một chủ đề then chốt thuộc phần hình học cơ bản. Việc hiểu rõ về đường trung trực giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc để học về tam giác, đường tròn, các dạng đối xứng và giải các bài toán thực tế liên quan đến khoảng cách và vị trí điểm.

Tại sao cần hiểu về đường trung trực? Việc nhận biết và sử dụng đường trung trực giúp bạn giải nhanh bài toán dựng hình, xác định vị trí điểm, kiểm tra tính đối xứng và còn ứng dụng trong thực tế như chia đôi đoạn thẳng, dựng chính xác tâm đường tròn… Nếu muốn học tốt Hình học 7 và làm chủ các kiến thức nâng cao, đây là kỹ năng bắt buộc.

Bạn có thể luyện tập hoàn toàn miễn phí với hàng trăm bài tập Nhận biết đường trung trực của một đoạn thẳng – giúp bạn tự luyện, kiểm tra tiến độ và nâng cao kỹ năng.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững
2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Đường trung trực của đoạn thẳngABABlà đường thẳng đi qua trung điểmMMcủa đoạn thẳngABABvà vuông góc vớiABABtạiMM.

• Tính chất: Mỗi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳngABABthì cách đều hai điểmAABB. Ngược lại, điểm bất kỳ cách đều hai đầu đoạn thẳng cũng nằm trên đường trung trực.

• Định lý:

- Nếu điểmCCnằm trên đường trung trực của đoạn thẳngABABthì CA=CBCA = CB.
- NếuCA=CBCA = CBthì điểmCCnằm trên đường trung trực của đoạn thẳngABAB.

• Điều kiện áp dụng: Định nghĩa và tính chất chỉ áp dụng với đoạn thẳng (không phải đoạn cong, hay tia). Đường trung trực chỉ xác định với đoạn thẳng hữu hạn.

2.2 Công thức và quy tắc

Một số công thức và quy tắc bạn cần ghi nhớ:

- Để dựng đường trung trực của đoạnABAB:

1. Xác định trung điểmMMcủaABAB:

M=(xA+xB2; yA+yB2)M = \left( \frac{x_A + x_B}{2};\ \frac{y_A + y_B}{2} \right)

2. Lập phương trìnhddvuông góc vớiABABtạiMM(nếu biết toạ độ), hoặc dựng hình gặp vuông góc tạiMM.

3. Nhớ: Đường trung trực chỉ tới một và chỉ một đối với mỗi đoạn thẳng.

- Mẹo nhớ: Đường này vừa “trung” (đi qua trung điểm), vừa “trực” (vuông góc với đoạn thẳng). Lấy đúng trung điểm, dựng vuông góc là xong!

3. Ví dụ minh họa chi tiết
3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho đoạn thẳngABABvớiA(2,3)A(2,3)B(6,7)B(6,7). Viết phương trình đường trung trực củaABAB.

Bước 1: Tìm trung điểmMMcủaABAB:
M=(2+62;3+72)=(4;5)M = \left( \frac{2 + 6}{2}; \frac{3 + 7}{2} \right) = (4;5)

Bước 2: Tìm hệ số góc củaABAB:
mAB=7362=1m_{AB} = \frac{7-3}{6-2} = 1

Bước 3: Đường trung trực vuông góc nên hệ số góc của nó là 1-1(nghịch đảo đối dấu):
Phương trình có dạng:y5=1(x4)    y=x+9y - 5 = -1(x - 4) \implies y = -x + 9

Hình minh họa: Minh họa đoạn thẳng AB với A(2,3), B(6,7), điểm giữa M(4,5) và đường trung trực có phương trình y = -x + 9
Minh họa đoạn thẳng AB với A(2,3), B(6,7), điểm giữa M(4,5) và đường trung trực có phương trình y = -x + 9
Hình minh họa: Minh họa đoạn thẳng AB với A(2,3), B(6,7), điểm trung điểm M(4,5) và đồ thị đường trung trực có phương trình y = -x + 9
Minh họa đoạn thẳng AB với A(2,3), B(6,7), điểm trung điểm M(4,5) và đồ thị đường trung trực có phương trình y = -x + 9

Lưu ý: Nếu bài toán cho hình học không có tọa độ, hãy dùng compa và thước kẻ để chia đôi rồi dựng vuông góc tại trung điểm.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho tam giácABCABCAB=ACAB = AC. Chứng minh đường trung trực củaBCBC đi qua đỉnhAA.

Giải:
- Tam giácABCABCcân tạiAA, nênAAcách đềuBBCC.
- Theo định lý đường trung trực: điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng (AAcách đềuBB,CC) thì nằm trên đường trung trực.
- Vậy đường trung trực củaBCBC đi quaAA.

Mẹo giải nhanh: Luôn chú ý tới các tính chất cách đều khi nhận biết đường trung trực của một đoạn thẳng trong tam giác cân, tam giác đều.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu đoạn thẳng là đường kính của một đường tròn, thì đường trung trực chính là đường kính vuông góc với đoạn ban đầu và đi qua tâm đường tròn.

- Trường hợp tam giác đều: ba đường trung trực đồng quy tại một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

- Liên hệ: Đường trung trực gắn trực tiếp với các kiến thức về trung điểm, đối xứng trục, tâm đường tròn, ...

5. Lỗi thường gặp và cách tránh
5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai: Đường trung trực không phải là đường nối hai đầu đoạn thẳng, mà là đường đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó.
- Nhầm với đường phân giác: Đường phân giác chia góc, còn đường trung trực chia đoạn thẳng và vuông góc.

- Phân biệt: Đường trung trực liên quan tới khoảng cách (điểm cách đều hai đầu đoạn), còn đường phân giác liên quan tới góc.

5.2 Lỗi về tính toán

- Tính nhầm trung điểm, sai công thức toạ độ.
- Nhập sai hệ số góc khi chuyển từ đoạn sang đường vuông góc.
- Kiểm tra lại: Sau khi dựng xong, chọn 1 điểm trên đường vừa dựng và kiểm tra nó có thật sự cách đều hai đầu đoạn chưa.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập hàng trăm bài tập Nhận biết đường trung trực của một đoạn thẳng miễn phí ngay trên hệ thống. Chỉ cần chọn môn, chọn lớp và bắt đầu luyện tập mà không phải đăng ký tài khoản! Tất cả giúp bạn theo dõi tiến độ và cải thiện từng ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Đường trung trực là đường chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau và vuông góc tại trung điểm.
• Tính chất: Mọi điểm trên đường trung trực cách đều hai đầu đoạn.
• Khi gặp bài nhận biết, chú ý quan sát trung điểm và dựng vuông góc.
• Checklist ôn tập: Định nghĩa, tính chất, cách dựng hình, kiểm tra bằng tính chất cách đều.
• Ôn tập đều đặn, làm nhiều ví dụ để thành thạo và tránh mắc lỗi.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".