Ôn thi Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác lớp 7 – Bí quyết đạt điểm cao kỳ thi Toán

1. Giới thiệu về tầm quan trọng của chủ đề trong kỳ thi

Chủ đề "Tính chất ba đường phân giác của tam giác" là phần không thể thiếu trong chương trình Hình học lớp 7, xuất hiện thường xuyên trong các đề thi học kỳ, kiểm tra định kỳ và các kỳ thi học sinh giỏi. Nắm vững chủ đề này giúp học sinh củng cố tư duy hình học, vận dụng linh hoạt các định lý cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải các bài toán chứng minh, dựng hình và tính toán trong tam giác.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

• Định nghĩa đường phân giác: Đường phân giác của một góc trong tam giác là đường thẳng đi qua đỉnh của góc đó và chia góc thành hai phần có số đo bằng nhau.
• Ba đường phân giác của một tam giác cùng đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác (O).
• Điểm đồng quy của ba đường phân giác cách đều ba cạnh của tam giác.
• Định lý phân giác trong tam giác: Đường phân giác của góc$A$cắt cạnh đối diện tại$D$sẽ chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của góc đó: nếu$AB$,$AC$là hai cạnh kề của góc$A$, thì $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.$
• Ứng dụng vào bài toán dựng đường tròn nội tiếp tam giác, chứng minh các tính chất liên quan đến đường phân giác.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

Các công thức thường gặp:

• Định lý phân giác:$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$với$D$là giao điểm của phân giác$A$và cạnh$BC$.
• Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác$ABC$(góc nội tiếp tạm ký hiệu là $I$là tâm đường tròn nội tiếp):$r = \frac{S}{p}$với$S$là diện tích tam giác,$p$là nửa chu vi:$p = \frac{a + b + c}{2}$.

Các điều kiện áp dụng:

• Tam giác phải tồn tại và các cạnh, các góc đều hợp lệ.
• Đường phân giác được xét phải là phân giác trong của một góc trong tam giác.

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

• Chứng minh ba đường phân giác đồng quy, xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
• Tính độ dài đoạn thẳng bị phân giác chia tỉ lệ dựa trên công thức tỉ số phân giác.
• Bài toán liên hệ giữa đường phân giác, đường cao, trung tuyến, phân giác ngoài.
• Tìm bán kính đường tròn nội tiếp hoặc chứng minh các đoạn thẳng cách đều từ tâm.
• Chứng minh tính chất đặc biệt khi tam giác là đều, cân, vuông.

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

Đối với từng dạng bài, cần có chiến lược giải cụ thể:

• Dạng chứng minh đồng quy: Nêu rõ vị trí các đường phân giác, vẽ hình chính xác, định nghĩa các điểm đồng quy, dùng định lý Euclid hoặc định lý của tam giác nếu cần.
• Dạng tính tỉ số: Xác định phân giác nào đang được xét, áp dụng đúng công thức phân giác, vẽ rõ các đoạn thẳng, chú ý các trường hợp cạnh bị chia.
• Dạng liên hệ chứng minh tính chất: So sánh các đoạn thẳng, dùng định nghĩa/phép đối xứng trong tam giác đặc biệt.
• Bài toán dựng đường tròn nội tiếp: Vẽ chính xác, xác định tâm O và bán kính r, sử dụng la bàn và thước thẳng (khi được yêu cầu thực hành).

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước với lời giải chi tiết

Dưới đây là một số bài tập kinh điển, thường gặp trong các đề Toán lớp 7 phần đường phân giác:

• Bài 1: Cho tam giác$ABC$, phân giác$AD$($D$∈$BC$). Biết$AB = 5cm$,$AC = 3cm$,$BC = 7cm$. Tính độ dài các đoạn$BD$và $DC$.

Lời giải:
Theo định lý phân giác:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{3}$.
Gọi$BD = x, DC = 7 - x$.
Ta có:$\frac{x}{7-x} = \frac{5}{3} \Rightarrow 3x = 5(7-x) \Rightarrow 3x = 35-5x \Rightarrow 8x = 35 \Rightarrow x = \frac{35}{8} = 4,375$(cm)
Do đó:$BD = 4,375$cm;$DC = 7 - 4,375 = 2,625$cm.

• Bài 2: Chứng minh trong tam giác$ABC$, ba đường phân giác đồng quy tại một điểm.

Lời giải:
- Ta dựng lần lượt ba đường phân giác ở ba góc của tam giác$ABC$cắt nhau tại điểm$I$.
- Theo định lý đã học, ba đường phân giác trong của tam giác luôn đồng quy tại một điểm, gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
-$I$là điểm cách đều ba cạnh, từ $I$kẻ các đoạn vuông góc tới mỗi cạnh ta luôn thu được các đoạn bằng nhau, đó là bán kính đường tròn nội tiếp.
- Suy ra đã chứng minh được ba đường phân giác đồng quy.

(Các bài nâng cao hơn thường sẽ yêu cầu chứng minh bài toán bằng phương pháp suy luận chặt chẽ, sử dụng nhiều khái niệm hình học cơ bản.)

• Bài 3: Cho tam giác$ABC$có diện tích$S = 24cm^2$, các cạnh$a = 7cm$,$b=8cm$,$c=9cm$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Lời giải:
$p = \frac{7+8+9}{2} = 12$(cm)
$r = \frac{S}{p} = \frac{24}{12} = 2$(cm)
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp là $2cm$.

• Bài 4: Chứng minh trong tam giác đều, tâm đường tròn nội tiếp trùng với các trọng tâm, vuông tâm, trực tâm.

Lời giải:
Vì tam giác đều có ba cạnh và ba góc bằng nhau, nên các đường cao, trung tuyến, phân giác đều trùng nhau tại một điểm. Do đó, tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm, trực tâm đều là một điểm.

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải trong kỳ thi

• Sai sót khi xác định các đoạn bị phân giác cắt trên cạnh đối diện, từ đó thế nhầm tỉ số vào công thức.
• Vẽ hình thiếu chính xác, không ghi rõ tên điểm, ký hiệu nhầm các đoạn thẳng.
• Không kiểm tra điều kiện áp dụng định lý phân giác (đường phân giác phải là phân giác trong).
• Nhầm lẫn giữa trung tuyến, đường phân giác, đường cao.

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian – Gợi ý mẫu

Việc lên kế hoạch ôn tập rõ ràng sẽ giúp học sinh chủ động kiểm soát tiến độ và tự tin bước vào kỳ thi Toán lớp 7.

1. 2 tuần trước thi: Ôn lại lý thuyết cơ bản, học thuộc định nghĩa, định lý phân giác, làm các bài tập tự luận đơn giản.
2. 1 tuần trước thi: Luyện đề, làm các bài tập tổng hợp, giải các bài chứng minh khó, kiểm tra lại các công thức quan trọng.
3. 3 ngày trước thi: Chọn lọc lại những lỗi hay mắc phải, đọc kỹ lại lý thuyết về tỉ số phân giác, công thức tính đường tròn nội tiếp, luyện làm đề kiểm tra thời gian thực.

9. Mẹo làm bài nhanh và chính xác

• Luôn vẽ hình rõ ràng, chính xác, dùng bút chì và thước để kiểm tra các tỷ lệ nếu cần.
• Đọc kỹ đề bài, gạch chân các dữ kiện quan trọng để tránh bỏ sót chi tiết.
• Chỉ áp dụng công thức khi chắc chắn xác định đúng vị trí phân giác và các đoạn thẳng.
• Ghi nhớ các công thức thường dùng về tỉ số phân giác và bán kính đường tròn nội tiếp để tiết kiệm thời gian.

Hi vọng với kế hoạch ôn thi bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác lớp 7 trên đây, các bạn học sinh sẽ tự tin đạt điểm số cao nhất trong các kỳ kiểm tra và kỳ thi quan trọng!