Phép chia đa thức một biến – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về phép chia đa thức một biến và tầm quan trọng trong toán học lớp 7

Phép chia đa thức một biến là một kiến thức trọng tâm trong chương trình toán học lớp 7. Nó giúp học sinh hiểu rõ hơn về cấu trúc của đa thức, cách thực hiện các phép toán với biểu thức đại số, đồng thời là nền tảng để học các khái niệm nâng cao như phân tích đa thức, tìm nghiệm, chia hết và chia có dư sau này. Việc nắm vững phép chia đa thức một biến sẽ giúp các em dễ dàng giải quyết các bài toán thực tế, kiểm tra và vận dụng linh hoạt trong các bài toán đại số.

2. Định nghĩa phép chia đa thức một biến

Trong toán học, đa thức một biến là một biểu thức có dạng:

$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +... + a_1x + a_0$

Phép chia đa thức một biến là quá trình tìm thương và số dư khi chia một đa thức $A(x)$ cho một đa thức khác $B(x)$(với$B(x) \neq 0$), ký hiệu là $A(x): B(x)$hoặc$\frac{A(x)}{B(x)}$.

Kết quả phép chia là tìm hai đa thức$Q(x)$(thương) và $R(x)$(số dư) sao cho:

Trong đó:

-$A(x)$: Đa thức bị chia

-$B(x)$: Đa thức chia ($B(x) \neq 0$)

-$Q(x)$: Thương

-$R(x)$: Số dư, với bậc của số dư luôn nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

3. Các bước thực hiện phép chia đa thức một biến với ví dụ minh họa

Phép chia đa thức một biến thường được thực hiện theo phương pháp giống chia số tự nhiên (chia từng bước). Sau đây là các bước cụ thể kèm ví dụ minh họa.

a. Các bước thực hiện

Bước 1: Sắp xếp các hạng tử của đa thức bị chia và đa thức chia theo lũy thừa giảm dần của biến.
Bước 2: Lấy hạng tử có bậc cao nhất của đa thức bị chia chia cho hạng tử có bậc cao nhất của đa thức chia để tìm hạng tử đầu tiên của thương.
Bước 3: Nhân hạng tử vừa tìm được với đa thức chia rồi trừ kết quả cho đa thức bị chia để được đa thức mới.
Bước 4: Lặp lại các bước trên với đa thức mới vừa tìm được cho đến khi bậc của đa thức mới nhỏ hơn bậc của đa thức chia. Đa thức còn lại chính là số dư.

b. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ: Thực hiện phép chia$A(x) = 2x^3 + 3x^2 - x + 5$cho$B(x) = x - 1$.

- Bước 1: Sắp xếp đa thức đã có (đã theo thứ tự giảm dần).
- Bước 2: Lấy$2x^3$chia cho$x$ được$2x^2$(hạng tử thứ nhất của thương).
- Bước 3: Nhân$2x^2$với$x - 1$, được$2x^3 - 2x^2$.
- Bước 4: Trừ cho đa thức bị chia:
$<br />(2x^3 + 3x^2 - x + 5) - (2x^3 - 2x^2) = 5x^2 - x + 5<br />$
- Tiếp tục chia$5x^2$cho$x$ được$5x$(hạng tử thứ hai của thương).
- Nhân$5x$với$x - 1$ được$5x^2 - 5x$.
- Trừ tiếp:
$<br />(5x^2 - x + 5) - (5x^2 - 5x) = 4x + 5<br />$
- Chia$4x$cho$x$, được$4$(hạng tử tiếp theo của thương).
- Nhân$4$với$x - 1$ được$4x - 4$.
- Trừ tiếp:
$<br />(4x + 5) - (4x - 4) = 9<br />$
- 9 là số dư vì bậc (0) nhỏ hơn bậc của đa thức chia (1).

Kết quả:$2x^3 + 3x^2 - x + 5$chia cho$x - 1$bằng$2x^2 + 5x + 4$, số dư là 9.

Ta có:

$2x^3 + 3x^2 - x + 5 = (x - 1)(2x^2 + 5x + 4) + 9$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi chia đa thức một biến

a. Số dư bằng 0 (chia hết)
Nếu$R(x) = 0$, tức là đa thức bị chia là bội của đa thức chia, hay nói cách khác$A(x)$chia hết cho$B(x)$.

b. Đơn thức chia đa thức & ngược lại
Khi chia đơn thức cho đơn thức, sử dụng quy tắc chia hệ số và trừ số mũ theo từng cặp hạng tử cùng bậc.
Khi chia đa thức cho đơn thức cũng chia từng hạng tử cho đơn thức rồi cộng lại.

c. Bậc của số dư luôn nhỏ hơn bậc của đa thức chia. Nếu không, ta cần thực hiện phép chia tiếp.

5. Mối liên hệ với các khái niệm khác trong toán học lớp 7

- Phép chia đa thức một biến liên quan mật thiết tới các phép toán cộng, trừ, nhân đa thức và lý thuyết về bội - ước của đa thức.
- Là công cụ để xác định đa thức có chia hết cho đa thức khác hay không.
- Có ứng dụng trong phân tích đa thức thành nhân tử, tìm nghiệm của đa thức, giải phương trình bậc cao,...
- Tương tự phép chia số tự nhiên theo quy tắc Euclid.

6. Các bài tập mẫu (có lời giải chi tiết)

Bài 1: Thực hiện phép chia$A(x) = x^3 + 2x^2 - x + 2$cho$B(x) = x + 1$.

- Chia$x^3$cho$x$ được$x^2$
- Nhân$x^2$với$x + 1$ được$x^3 + x^2$
- Trừ:$(x^3 + 2x^2 - x + 2) - (x^3 + x^2) = x^2 - x + 2$
- Chia$x^2$cho$x$ được$x$
- Nhân$x$với$x + 1$ được$x^2 + x$
- Trừ:$(x^2 - x + 2) - (x^2 + x) = -2x + 2$
- Chia$-2x$cho$x$ được$-2$
- Nhân$-2$với$x + 1$ được$-2x - 2$
- Trừ:$(-2x + 2) - (-2x - 2) = 4$
- 4 là số dư, bậc số dư (0) nhỏ hơn bậc đa thức chia (1)

Kết quả:$x^3 + 2x^2 - x + 2 = (x + 1)(x^2 + x - 2) + 4$

Bài 2: Chia$A(x) = 3x^2 - 4x + 2$cho$B(x) = x - 2$

-$3x^2$chia$x$ được$3x$
-$3x \cdot (x - 2) = 3x^2 - 6x$
- Trừ:$(3x^2 - 4x + 2) - (3x^2 - 6x) = 2x + 2$
-$2x$chia$x$ được$2$
-$2 \cdot (x - 2) = 2x - 4$
- Trừ:$(2x + 2) - (2x - 4) = 6$
- Kết quả:$3x^2 - 4x + 2 = (x - 2)(3x + 2) + 6$

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

- Không sắp xếp đa thức theo thứ tự giảm dần bậc biến: Dễ dẫn đến nhầm lẫn khi thao tác.
- Bỏ sót các hạng tử trống (hệ số bằng 0): Nên viết đầy đủ các bậc.
- Không chú ý tới dấu$-$,$+$khi cộng trừ hạng tử.
- Chưa kiểm tra bậc của số dư sau phép chia: Số dư phải có bậc nhỏ hơn bậc đa thức chia.
- Nhầm lẫn giữa phép chia đa thức và phép chia đơn thức: Thao tác, quy tắc khác nhau.

8. Tóm tắt - Các điểm cần ghi nhớ về phép chia đa thức một biến

- Phép chia đa thức một biến là quá trình tìm thương và số dư.
- Số dư luôn có bậc nhỏ hơn bậc đa thức chia.
- Phép chia đa thức dùng quy tắc tương tự như chia số tự nhiên.
- Nên viết đầy đủ các bậc của đa thức, kể cả bậc có hệ số bằng 0.
- Cần cẩn thận khi thực hiện các bước nhân, trừ từng hạng tử.
- Áp dụng phép chia để kiểm tra tính chia hết, tìm nghiệm, phân tích đa thức thành nhân tử,...