Blog

Phép chia đa thức một biến: Khái niệm, công thức và bài tập minh họa cho lớp 7

T
Tác giả
4 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Phép chia đa thức một biến là một nội dung quan trọng nằm trong chương trình Toán học lớp 7. Đây là kỹ năng cơ bản để giải các bài toán về biểu thức đại số, phương trình và bài toán thực tiễn. Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh xử lý các phép toán phức tạp hơn trong các lớp học tiếp theo và trong đời sống, như phân tích hàm số, giải phương trình, hay tính toán trong các mô hình thực tiễn.

Nắm vững phép chia đa thức một biến còn giúp bạn tự tin giải các bài tập và làm quen với toán học hiện đại. Ngoài ra, bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập đa dạng ngay tại đây.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Với hai đa thức một biến A(x)A(x)B(x)B(x)(bậc củaB(x)0B(x) \neq 0), phép chia đa thức là tìm hai đa thứcQ(x)Q(x)R(x)R(x)sao choA(x)=B(x)Q(x)+R(x)A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x), với bậc củaR(x)R(x)nhỏ hơn bậc củaB(x)B(x).

- Định lý chia đa thức: Cho hai đa thức một biếnA(x)A(x)B(x)B(x)(B(x)0B(x) \neq 0), luôn tồn tại duy nhất đa thức thươngQ(x)Q(x)và dư R(x)R(x)sao choA(x)=B(x)Q(x)+R(x)A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x), vớideg(R(x))<deg(B(x))\deg(R(x)) < \deg(B(x)).

- Điều kiện áp dụng: B(x)0B(x) \neq 0và đa thức bị chia và chia đều là đa thức một biến.

2.2 Công thức và quy tắc

  • Công thức tổng quát:
  • A(x)=B(x)Q(x)+R(x)A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)(vớideg(R(x))<deg(B(x))\deg(R(x)) < \deg(B(x)))

  • Cách thực hiện:
  • Chia từng bước từ bậc cao nhất xuống bậc thấp hơn, lấy hệ số đầu chia cho hệ số đầu, nhân rồi trừ, lặp lại đến khi bậc của dư nhỏ hơn bậc củaB(x)B(x).

  • Cách ghi nhớ:
  • Nhớ quy trình: Chia → Nhân → Trừ → Hạ.

  • Biến thể:
  • Chia cho đa thức bậc 1:B(x)=xaB(x) = x - a(Sử dụng định lý dư hoặc sơ đồ Horner).

    3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Cho đa thứcA(x)=x2+2x+1A(x) = x^2 + 2x + 1chia choB(x)=x+1B(x) = x + 1.

    Giải từng bước:

  • Chiax2x^2choxx đượcxx(viếtQ(x)=xQ(x) = x).
  • Nhânxxvới(x+1)(x + 1)thànhx2+xx^2 + x. Trừ choA(x)A(x)ta được:(x2+2x+1)(x2+x)=x+1(x^2 + 2x + 1) - (x^2 + x) = x + 1.
  • Chiaxxchoxx được11(Q(x)=x+1Q(x) = x + 1).
  • Nhân11với(x+1)(x + 1)x+1x + 1. Trừ chox+1x + 1 được00(hết dư).
  • Kết luận:x2+2x+1=(x+1)(x+1)+0x^2 + 2x + 1 = (x + 1) \cdot (x + 1) + 0nên thương là x+1x + 1, dư là 00.

    Lưu ý:

    Luôn kiểm tra lại bậc của dư so với đa thức chia.

    3.2 Ví dụ nâng cao

    ChiaA(x)=2x33x2+4x5A(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5choB(x)=x2B(x) = x - 2.

    Áp dụng sơ đồ Horner:

  • Viết các hệ số: 2 | -3 | 4 | -5.
  • Thayx=2x = 2, thực hiện các bước nhân và cộng dồn để tìm dư.
  • Kết quả thương:2x2+x+62x^2 + x + 6; dư:77.

    Kỹ thuật giải nhanh: nhớ sơ đồ Horner và áp dụng khi chia cho biểu thức bậc 1!

    4. Các trường hợp đặc biệt

    - Khi chia cho đa thức bậc 1xax-a,R(x)R(x)là số dư (hệ số tự do).

    - Nếu dư là 00,B(x)B(x)là một nhân tử củaA(x)A(x).

    - Nếu đa thức chia có bậc lớn hơn đa thức bị chia, thương là 00, dư là chính đa thức bị chia.

    - Liên hệ với Định lý dư và Định lý nhân tử.

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

    - Lỗi: Hiểu sai vai trò thương và số dư.

    - Cách tránh: Nhớ kỹ thương là số lần lặp lại củaB(x)B(x)trongA(x)A(x). Dư phải luôn có bậc nhỏ hơnB(x)B(x).

    - Lỗi: Nhầm lẫn với phép chia số tự nhiên.

    5.2 Lỗi về tính toán

    - Sai sót khi thao tác chia hệ số, quên đổi dấu khi trừ.

    - Phương pháp kiểm tra: Lấy thương và dư thu được thay vào công thức tổng quát để kiểm tra kết quả.

    6. Luyện tập miễn phí ngay

    - Truy cập 42.226+ bài tập Phép chia đa thức một biến miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay!

    - Theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng nhanh chóng.

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Nhớ công thức chia đa thức một biến.
  • Biết cách kiểm tra kết quả bằng công thức tổng quát.
  • Có checklist: Hiểu định nghĩa – Nắm quy tắc chia – Luyện ví dụ – Tự làm bài tập.
  • Chúc các bạn học tốt và trở thành người giải toán thành thạo thông qua luyện tập Phép chia đa thức một biến miễn phí tại đây!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".