1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Phép chia đa thức một biến là một trong những chủ đề trọng tâm của môn Toán lớp 7, thuộc phần "Biểu thức đại số". Việc hiểu và thành thạo cách chia đa thức giúp các em giải quyết hiệu quả nhiều dạng bài khác nhau, đặc biệt khi học lên các lớp cao hơn như giải phương trình, rút gọn biểu thức, tìm nghiệm của đa thức,...

Nắm vững kiến thức về phép chia đa thức một biến sẽ giúp các em học tốt các chương tiếp theo và ứng dụng giải toán thực tế, ví dụ: chia tiền, chia phần thưởng theo tỉ lệ, chia sản phẩm trong kinh doanh... Đặc biệt, các em có cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 42.227+ bài tập trên hệ thống của chúng tôi để nâng cao kỹ năng nhanh chóng!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Phép chia đa thức một biến là quá trình tìm hai đa thức Q(x) (thương) và R(x) (số dư) sao cho với hai đa thức P(x) (bị chia) và D(x) (chia), ta có:

$P(x) = Q(x) \times D(x) + R(x)$

- Trong đó:
-$P(x)$: đa thức bị chia
-$D(x)$: đa thức chia (không phải là hằng số 0)
-$Q(x)$: đa thức thương
-$R(x)$: đa thức dư, bậc của$R(x)$nhỏ hơn bậc của$D(x)$.

- Định lý: Với mỗi đa thức$P(x)$và $D(x)$, với$D(x)$khác 0, luôn tồn tại duy nhất đa thức thương$Q(x)$và dư $R(x)$sao cho$P(x) = Q(x) \times D(x) + R(x)$với bậc$R(x) <$bậc$D(x)$.

- Điều kiện áp dụng: Đa thức chia$D(x)$khác 0; mọi thao tác phải theo đúng quy tắc chia từng bước theo thứ tự bậc giảm dần.

2.2 Công thức và quy tắc

Công thức căn bản khi chia đa thức một biến với một đa thức khác (không phải hằng số):

$P(x) = D(x) \times Q(x) + R(x)$

- Số dư $R(x)$phải có bậc nhỏ hơn đa thức chia$D(x)$.

Cách ghi nhớ hiệu quả: Nhớ thứ tự: chia hệ số bậc cao nhất, nhân lại cho đa thức chia, trừ cho đa thức bị chia, lặp lại với phần còn lại đến khi bậc phần dư nhỏ hơn đa thức chia.

Công thức chia nhanh trường hợp đặc biệt (chia cho$x - a$):

- Áp dụng định lý phần dư: Khi chia$P(x)$cho$x - a$, số dư chính là $P(a)$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Chia đa thức$P(x) = x^2 + 2x + 3$cho$D(x) = x + 1$.

Bước 1: Lấy$x^2$chia$x$ được$x$, ghi$x$vào thương.

Bước 2: Lấy$x$nhân$D(x)$, được$x(x+1) = x^2 + x$. Trừ:$(x^2 + 2x + 3) - (x^2 + x) = x + 3$.

Bước 3: Lấy$x$chia$x$ được$1$, cộng$1$vào thương.

Bước 4:$1 \times (x + 1) = x + 1$. Trừ:$(x + 3) - (x + 1) = 2$.

Như vậy, kết quả:$Q(x) = x + 1$,$R(x) = 2$.

Ta có:$x^2 + 2x + 3 = (x + 1) \times (x + 1) + 2$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Chia đa thức$P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5$cho$D(x) = x - 2$.

Bước 1: Lấy$2x^3$chia$x$ được$2x^2$(ghi vào thương).

Bước 2:$2x^2 \times (x - 2) = 2x^3 - 4x^2$.

Trừ:$(2x^3 - 3x^2 + x - 5) - (2x^3 - 4x^2) = x^2 + x - 5$.

Bước 3: Lấy$x^2$chia$x$ được$x$, cộng vào thương.

$x \times (x - 2) = x^2 - 2x$.

Trừ:$(x^2 + x - 5) - (x^2 - 2x) = 3x - 5$.

$3x$chia$x$ được$3$, cộng vào thương.

$3 \times (x - 2) = 3x - 6$.

Trừ:$(3x - 5) - (3x - 6) = 1$.

Vậy$Q(x) = 2x^2 + x + 3$,$R(x) = 1$.

Vậy$2x^3 - 3x^2 + x - 5 = (x - 2)(2x^2 + x + 3) + 1$.

Lưu ý: Có thể áp dụng định lý phần dư để nhanh chóng tìm số dư khi chia cho$x - a$.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Khi chia cho đa thức dạng$x-a$, có thể áp dụng định lý phần dư.

- Nếu bị chia là đa thức bậc thấp hơn chia thì thương = 0, dư = đa thức bị chia.

- Liên hệ với phép chia số tự nhiên: dạng$a = bq + r$,$0 \leq r < b$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai đa thức dư $R(x)$: phải có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

- Nhầm lẫn với chia đơn thức.

Kinh nghiệm: Luôn xác định rõ dạng chia (đa thức cho đa thức); phân biệt với chia đơn thức.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên trừ hoặc cộng nhầm dấu khi nhân/trừ đa thức.

- Không sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần.

- Bỏ qua các hệ số bằng 0.

Phương pháp kiểm tra kết quả:Thay kết quả thương và dư vào$P(x) = Q(x) \times D(x) + R(x)$ để kiểm tra.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Tham gia ngay hơn 42.227+ bài tập phép chia đa thức một biến miễn phí trên nền tảng của chúng tôi! Không cần đăng ký, các em có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức. Theo dõi kết quả, tiến độ học tập, ôn luyện chuẩn bị thật tốt cho các kỳ kiểm tra và bài thi cuối kỳ.

Truy cập: [Luyện tập Phép chia đa thức một biến miễn phí](/practice/phep-chia-da-thuc-mot-bien) để khám phá kho bài tập!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Định nghĩa:$P(x) = Q(x) \times D(x) + R(x)$với bậc$R(x) <$bậc$D(x)$.

- Ghi nhớ thứ tự chia, luôn kiểm tra kết quả.

- Luyện tập nhiều để quen tay, tránh nhầm lẫn.

Checklist ôn tập:

• Hiểu khái niệm và định nghĩa phép chia đa thức một biến
• Thuộc công thức cơ bản, xác định rõ vai trò $P(x)$,$D(x)$,$Q(x)$,$R(x)$
• Biết cách thực hiện các phép chia đa thức từng bước
• Áp dụng định lý phần dư khi thích hợp
• Tránh các lỗi tính toán thường gặp

Kế hoạch ôn tập: Chia nhỏ thời gian luyện tập, mỗi ngày làm 5-10 bài, kiểm tra lại kết quả. Sau 1 tuần, xem lại các lỗi thường gặp và luyện thêm nhóm bài mình còn yếu. Đừng quên tận dụng kho bài tập miễn phí để tiến bộ nhanh nhất!