1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Phép trừ đa thức một biến là một phần quan trọng của chương trình Toán lớp 7, nằm trong chủ đề đại số và biểu thức đại số. Hiểu rõ phép trừ đa thức giúp học sinh giải toán chính xác, tự tin chinh phục nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Việc thành thạo kiến thức này giúp học tốt các chương tiếp theo như phân tích đa thức, chia đa thức và giải phương trình – những kỹ năng cần thiết trong Toán trung học cơ sở và cả trong cuộc sống.

Cụ thể, biết phép trừ đa thức giúp:

• Giải các bài toán tính giá trị biểu thức, tìm ẩn số một cách chính xác.
• Hiểu bản chất của các phép toán trong đại số, làm nền tảng cho các chủ đề nâng cao.
• Áp dụng vào giải các bài toán thực tế như tính chi phí, diện tích, bài toán chuyển động.

Đặc biệt, bạn có thể "luyện tập Phép trừ đa thức một biến miễn phí" với hơn 41.656+ bài tập được biên soạn sát nội dung sách giáo khoa của Bộ GD&ĐT.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1. Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Phép trừ đa thức một biến là phép toán lấy một đa thức một biến trừ đi một đa thức một biến khác nhưng cùng biến.

Nếu$A(x)$và $B(x)$là hai đa thức một biến, thì $A(x) - B(x)$là đa thức mới, có hệ số, số mũ của từng hạng tử được tính theo quy tắc trừ các hạng tử cùng bậc (cùng số mũ của biến).

• Tính chất: Phép trừ đa thức không kết hợp (không giống phép cộng, không có tính chất giao hoán hoặc kết hợp!). Tuy nhiên, ta có thể biến phép trừ thành phép cộng đa thức với đổi dấu các hạng tử của đa thức bị trừ.

• Điều kiện áp dụng: Hai đa thức phải cùng biến. Mỗi đa thức phải được sắp xếp theo thứ tự lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến để dễ thực hiện phép trừ.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức tổng quát:

Cho hai đa thức một biến:

$A(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +... + a_1x + a_0$

$B(x) = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} +... + b_1x + b_0$

Ta có:$A(x) - B(x) = (a_n - b_n)x^n + (a_{n-1} - b_{n-1})x^{n-1} +... + (a_1 - b_1)x + (a_0 - b_0)$

• Mẹo ghi nhớ: Phép trừ đa thức một biến chính là việc cộng với đa thức đối.

• Biến thể công thức: Đôi khi các đa thức$A(x)$và $B(x)$không cùng bậc, ta viết bổ sung các hạng tử còn thiếu với hệ số bằng 0.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho$A(x) = 3x^2 + 2x + 1$và $B(x) = x^2 + 5x - 3$. Tính$A(x) - B(x)$.

Giải:

1. Viết lại hai đa thức cùng thứ tự bậc:$A(x) = 3x^2 + 2x + 1$,$B(x) = x^2 + 5x - 3$.
2. Thực hiện phép trừ từng hệ số cùng số mũ:
3. $A(x) - B(x) = (3x^2 - x^2) + (2x - 5x) + (1 - (-3)) = 2x^2 - 3x + 4$.
4. Kết quả:$2x^2 - 3x + 4$.

Lưu ý: Phải chú ý đổi dấu các hạng tử của đa thức bị trừ.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho$P(x) = 4x^4 - 3x^3 + 2x - 1$và $Q(x) = x^4 + 2x^2 - 5x + 6$. Tính$P(x) - Q(x)$.

1. Viết các đa thức theo thứ tự giảm dần bậc và bổ sung hạng tử còn thiếu:
2. $P(x) = 4x^4 - 3x^3 + 0x^2 + 2x - 1$,$Q(x) = 1x^4 + 0x^3 + 2x^2 - 5x + 6$.
3. Trừ từng hệ số hạng tử cùng bậc:
4. $P(x) - Q(x) = (4-1)x^4 + (-3-0)x^3 + (0-2)x^2 + (2 - (-5))x + (-1-6)$
5. Tức là:$3x^4 - 3x^3 - 2x^2 + 7x - 7$.

Mẹo giải nhanh: Luôn kiểm tra bậc của từng hạng tử, bổ sung hệ số 0 khi cần để khỏi bỏ sót.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu đa thức bị trừ có bậc thấp hơn, phải bổ sung hệ số 0 cho đủ bậc.
• Nếu hai đa thức cùng bậc nhưng hệ số bằng nhau ở từng bậc, hiệu là đa thức 0.
• Nếu chỉ có một đa thức trừ đi chính nó:$A(x) - A(x) = 0$với mọi$x$.

Liên hệ: Phép trừ đa thức liên quan chặt chẽ với phép cộng đa thức và việc biến đổi biểu thức đại số.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu sai phép trừ là trừ từng biểu thức thay vì từng hạng tử cùng bậc.
• Nhầm lẫn giữa phép trừ và phép cộng đa thức.

Cách khắc phục: Ghi nhớ quy tắc luôn trừ từng hệ số cùng bậc của biến. Luyện nhiều bài tập để quen dạng.

5.2 Lỗi về tính toán

• Bỏ sót hoặc nhầm dấu khi trừ các hệ số.
• Không sắp xếp đa thức đúng thứ tự bậc.

Cách kiểm tra: Sau khi trừ, thay giá trị $x$cụ thể vào cả hai đa thức và kiểm tra kết quả.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập ngay bộ 41.656+ bài tập Phép trừ đa thức một biến miễn phí chuẩn SGK ngay trên hệ thống của chúng tôi. Không cần đăng ký, hãy bắt đầu luyện tập Phép trừ đa thức một biến ngay lập tức để theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng mỗi ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Khi trừ đa thức một biến, luôn sắp xếp các hạng tử cùng bậc và thực hiện trừ hệ số của từng bậc.
• Nhớ: Đổi dấu toàn bộ các hạng tử của đa thức bị trừ rồi cộng vào đa thức ban đầu.
• Cẩn thận với việc bỏ sót hạng tử hoặc nhầm dấu.
• Thường xuyên luyện tập bài tập Phép trừ đa thức một biến miễn phí để củng cố và phát triển kỹ năng.

Checklist kiến thức: • Hiểu định nghĩa phép trừ đa thức một biến • Biết cách sắp xếp và thực hiện phép trừ • Nhận diện và tránh các lỗi thường gặp

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Mỗi ngày giải ít nhất 2-3 bài tập thực hành để nắm chắc chủ đề này và áp dụng thành thạo cho các dạng bài tiếp theo.