1. Giới thiệu về phép trừ đa thức một biến và tầm quan trọng trong toán học lớp 7

Trong chương trình toán học lớp 7, học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm đa thức – một dạng biểu thức đại số quan trọng. Phép trừ đa thức một biến là một phần trọng tâm trong chủ đề này, bởi đây không chỉ là bước tiến mới từ phép tính cơ bản với số mà còn mở đường cho các phép biến đổi, giải phương trình, và các chủ đề đại số nâng cao hơn về sau. Hiểu rõ và thực hiện thành thạo phép trừ đa thức giúp học sinh làm chủ các kiến thức nền tảng, tự tin học tập tốt các phần tiếp theo.

2. Định nghĩa: Phép trừ đa thức một biến là gì?

Đa thức một biến là một biểu thức đại số dạng

, trong đó $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$là các hệ số,$x$là biến. Phép trừ đa thức một biến là phép toán lấy một đa thức trừ đi một đa thức khác cùng biến. Kết quả thu được vẫn là một đa thức một biến.

3. Hướng dẫn từng bước với ví dụ minh họa

Để trừ hai đa thức một biến, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Viết các đa thức ở dạng đầy đủ các hạng tử, sắp xếp cùng thứ tự số mũ theo biến.
• Bước 2: Đặt phép trừ các đa thức (nên viết dọc hoặc ngoặc đơn để dễ tính toán).
• Bước 3: Đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức bị trừ ($B(x)$) rồi cộng với đa thức trừ.
• Bước 4: Cộng, trừ các hạng tử đồng dạng (cùng số mũ) với nhau.
• Bước 5: Viết kết quả cuối cùng là một đa thức.

Ví dụ minh họa 1:

Cho hai đa thức:

$A(x) = 3x^2 + 2x -5$

$B(x) = x^2 - 4x + 7$

Tính$C(x) = A(x) - B(x)$.

1. Viết phép trừ:
   $C(x) = (3x^2 + 2x - 5) - (x^2 - 4x + 7)$
2. Đổi dấu đa thức$B(x)$:
   $-(x^2 - 4x + 7) = -x^2 + 4x - 7$
   
   Nên:
   $C(x) = 3x^2 + 2x - 5 - x^2 + 4x - 7$
3. Cộng/trừ các hạng tử đồng dạng:
   
   -$x^2$:$3x^2 - x^2 = 2x^2$
   -$x$:$2x + 4x = 6x$
   - Hệ số tự do:$-5 - 7 = -12$
   
   Kết luận:
   $C(x) = 2x^2 + 6x - 12$

Ví dụ minh họa 2 (đa thức chưa đủ hạng tử):

$A(x) = 5x^3 + 2$

$B(x) = x^3 - x + 4$

Tính$A(x) - B(x)$.

1. Viết các đa thức ở dạng đủ hạng tử:
   $A(x) = 5x^3 + 0x^2 + 0x + 2$
   $B(x) = x^3 + 0x^2 - x + 4$
2. Đổi dấu đa thức$B(x)$:
   $-(x^3 + 0x^2 - x + 4) = -x^3 + 0x^2 + x - 4$
3. Cộng các hạng tử đồng dạng:
   
   $(5x^3 - x^3) + (0x^2 + 0x^2) + (0x + x) + (2 - 4) = 4x^3 + x - 2$
4. Đáp số:
   $A(x) - B(x) = 4x^3 + x - 2$

4. Các trường hợp đặc biệt & lưu ý khi trừ đa thức

- Đa thức thiếu hạng tử phải điền hệ số 0 cho hạng tử đó.
- Hai đa thức không cùng bậc (số mũ lớn nhất khác nhau), cứ trừ các hạng tử đồng dạng, hạng tử còn lại giữ nguyên.
- Chú ý đổi dấu toàn bộ đa thức bị trừ (không chỉ đổi từng số)!

• Nên để đa thức cùng dạng, cùng thứ tự số mũ để tránh nhầm lẫn.
• Luôn kiểm tra lại dấu sau khi đổi dấu các hạng tử của đa thức bị trừ.
• Không cộng/trừ các hạng tử khác bậc với nhau.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Phép trừ đa thức tương tự như phép cộng, chỉ khác cần đổi dấu đa thức bị trừ.
- Đây là bước tiền đề để thực hiện các phép chia đa thức, phân tích và giải phương trình đại số.
- Phép trừ đa thức gắn liền với quy tắc nhóm các hạng tử đồng dạng, rất cần khi rút gọn biểu thức, biến đổi biểu thức đại số và học lên các lớp cao hơn.

6. Bài tập mẫu và lời giải

Bài tập 1: Tính$P(x) = (2x^2 + 3x - 4) - (x^2 - 2x + 5)$.

1. - Đổi dấu đa thức bị trừ:
   $-(x^2 - 2x + 5) = -x^2 + 2x - 5$
2. - Thực hiện phép trừ:
   $2x^2 + 3x - 4 - x^2 + 2x - 5$
3. - Ghép các hạng tử đồng dạng:
   $(2x^2 - x^2) + (3x + 2x) + (-4 - 5) = x^2 + 5x - 9$
   
   Đáp số:
   $P(x) = x^2 + 5x - 9$

Bài tập 2:$Q(x) = (4x^3 - 6) - (2x^3 + 7x - 4)$.

1. - Viết lại đảo dấu đa thức bị trừ:
   $-(2x^3 + 7x - 4) = -2x^3 - 7x + 4$
2. - Thực hiện phép trừ:
   $4x^3 - 6 - 2x^3 - 7x + 4$
   
   Ghép đồng dạng:
   $(4x^3 - 2x^3) + (-7x) + (-6 + 4) = 2x^3 - 7x - 2$
3. Đáp số:
   $Q(x) = 2x^3 - 7x - 2$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên đổi dấu từng hạng tử của đa thức bị trừ (nên đặt dấu ngoặc).
• Trừ các hạng tử không đồng dạng với nhau (chỉ ghép được các hạng tử cùng số mũ).
• Không chú ý đến các hạng tử thiếu và không thêm hệ số 0.
• Lẫn lộn thứ tự phép tính (nên thực hiện từng bước, gạch ngang các hạng tử đã sử dụng).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Phép trừ đa thức một biến là phép toán cơ bản, giúp rèn luyện kỹ năng làm việc với biểu thức đại số.
- Phải luôn đổi dấu toàn bộ đa thức bị trừ trước khi cộng các hạng tử đồng dạng.
- Chỉ trừ các hạng tử đồng dạng với nhau.
- Đối với đa thức thiếu hạng tử, điền hệ số 0 để tránh nhầm lẫn.
- Nên trình bày cẩn thận, kiểm tra lại từng bước để tránh sai sót.