So sánh độ dài các đường xiên: Lý thuyết, ví dụ, luyện tập miễn phí cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

So sánh độ dài các đường xiên là một chủ đề cơ bản và quan trọng trong chương trình Hình học lớp 7. Hiểu rõ khái niệm này giúp các bạn học sinh nắm vững bản chất về mối liên hệ giữa các đường vuông góc, đường xiên và đoạn vuông góc – nền tảng để giải quyết các bài toán hình học sau này cũng như các bài toán thực tế như đo chiều cao, tính khoảng cách gián tiếp. Đặc biệt, với 42.226+ bài tập luyện tập So sánh độ dài các đường xiên miễn phí, bạn có thể rèn luyện kỹ càng và tự tin khi làm bài!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa:Cho đường thẳng$d$và điểm$A$không nằm trên$d$. Các đoạn thẳng nối$A$với các điểm$B, C, D,...$trên$d$được gọi là các đường xiên kẻ từ$A$ đến$d$. Đoạn vuông góc kẻ từ $A$tới$d$là đoạn ngắn nhất từ $A$ đến$d$.

- Tính chất chính:Trong các đường kẻ từ $A$ đến$d$mà đi qua các điểm khác nhau trên$d$, đoạn vuông góc là ngắn nhất; càng ra xa khỏi chân vuông góc thì đường xiên càng dài.

- Điều kiện áp dụng:Đường xiên và đoạn vuông góc phải cùng xuất phát từ một điểm$A$nằm ngoài$d$.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức tính độ dài đường xiên:Nếu từ $A$kẻ $AH$vuông góc với$d$tại$H$, và $AB$là đường xiên cắt$d$tại$B$, thì $AB^2 = AH^2 + HB^2$

-$AB > AH$với$B \neq H$
- Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu trên$d$từ chân vuông góc là đối xứng qua$H$

- Quy tắc ghi nhớ: Đường xiên càng xa chân vuông góc thì càng dài.

- Công thức trên chỉ đúng khi cùng từ $A$ đến các điểm khác nhau trên đường$d$

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho điểm$A$nằm ngoài đường thẳng$d$, kẻ $AH \perp d$tại$H$. Trên$d$, lấy hai điểm$B$và $C$sao cho$HB = a$,$HC = b$($a, b > 0$). Tính độ dài các đường xiên$AB$và $AC$biết$AH = h$.

Giải:
Theo định lý Py-ta-go, ta có:

$AB = \sqrt{AH^2 + HB^2} = \sqrt{h^2 + a^2} <br />$AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{h^2 + b^2}$

Do$a, b > 0$nên$AB, AC > AH$. Nếu$a > b$thì $AB > AC$và ngược lại. Lưu ý, đường xiên càng xa chân vuông góc thì càng dài!

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho$AH \perp d$($H$thuộc$d$),$B, C$thuộc$d$sao cho$HB = 3\ \text{cm}$,$HC = 5\ \text{cm}$,$AH = 4\ \text{cm}$. Tính$AB$,$AC$và so sánh hai đường xiên này.

Giải:
$AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\ \text{cm} <br />$AC = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \approx 6,4\ \text{cm}$<br />Vậy$AB < AC$. Đường xiên có hình chiếu xa chân vuông góc hơn thì dài hơn!

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu đường xiên đi qua chân vuông góc ($B \equiv H$), thì nó chính là đoạn vuông góc và ngắn nhất.

- Nếu hai đường xiên đối xứng nhau qua chân vuông góc thì có độ dài bằng nhau. Mối liên hệ này rất quan trọng khi giải các bài toán hình học chứng minh tính bằng nhau.

- So sánh theo quy tắc:$AB < AC$nếu$HB < HC$cùng phía chân vuông góc.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn đường xiên và đoạn vuông góc: đường vuông góc là ngắn nhất còn đường xiên luôn dài hơn.

- Hiểu sai về việc so sánh độ dài khi các đường xiên không cùng xuất phát từ một điểm.

Cách tránh: Luôn xác định đúng "gốc" các đường xiên và nhớ đường vuông góc là đặc biệt nhất.

5.2 Lỗi về tính toán

- Lẫn lộn các đoạn khi áp dụng công thức Py-ta-go (ví dụ: nhầm lẫn$AH$,$HB$)

- Quên lấy căn bậc hai giá trị tổng, dễ bị thiếu chính xác.

Giải pháp: Vẽ hình, ghi nháp rõ ràng, kiểm tra lại công thức và kết quả.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Nhanh tay truy cập 42.226+ bài tập So sánh độ dài các đường xiên miễn phí để luyện tập ngay – không cần đăng ký! Theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng mỗi ngày với hệ thống "luyện tập So sánh độ dài các đường xiên miễn phí" dành riêng cho bạn.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Công thức chính:$AB^2 = AH^2 + HB^2$với$AH$là đoạn vuông góc,$AB$là đường xiên,$HB$là hình chiếu.
- Nhớ: Đoạn vuông góc là ngắn nhất, hai đường xiên đối xứng qua chân vuông góc thì bằng nhau.
- Đọc kỹ đề, vẽ hình cẩn thận, kiểm tra tính toán và so sánh đúng theo quy tắc.
- Lên kế hoạch ôn tập từng ngày và đừng quên ôn lại lý thuyết trước khi làm bài.