So sánh độ dài các đường xiên: Lý thuyết, ví dụ và luyện tập miễn phí cho lớp 7

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 7, "So sánh độ dài các đường xiên" là một kiến thức trọng tâm trong phần Hình học. Nắm vững khái niệm này giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa đường xiên, đường vuông góc, đoạn vuông góc từ một điểm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó. Việc này không chỉ giúp các bạn làm tốt bài tập trên lớp, mà còn có ý nghĩa thực tiễn: ứng dụng trong đo đạc, vẽ kỹ thuật, xác định khoảng cách ngắn nhất,... Luyện tập 42.226+ bài tập So sánh độ dài các đường xiên miễn phí giúp bạn rèn luyện kỹ năng, nâng cao điểm số mà không cần đăng ký tài khoản.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

### 2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Đường xiên từ một điểm A (nằm ngoài đường thẳng d) đến d là đoạn thẳng nối A với một điểm B (B thuộc d, nhưng không vuông góc với d).
- Đoạn vuông góc: Là đoạn thẳng hạ từ A vuông góc với d tại điểm H.
- So sánh độ dài: Trong tất cả các đoạn thẳng nối từ A tới d (gọi là đường xiên và đoạn vuông góc), đoạn vuông góc là ngắn nhất. Các đường xiên càng xa chân vuông góc thì càng dài.
- Tính chất: Nếu từ điểm A vẽ hai đường xiên AB và AC đến d, có các hình chiếu tương ứng là B' và C' (B', C' thuộc d), nếu B'H < C'H thì AB < AC.

### 2.2 Công thức và quy tắc

-$AB^2 = AH^2 + HB^2$(định lý Pytago)
- Muốn so sánh hai đường xiên, so sánh độ dài hình chiếu của chúng trên d: Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn, khoảng cách từ chân vuông góc đến hình chiếu xa hơn thì độ dài đường xiên đó lớn hơn.
- Quy tắc học nhanh: Đường vuông góc là ngắn nhất, các đường xiên cách xa chân vuông góc hơn thì dài hơn.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

#### 3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán:
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, từ A kẻ AH vuông góc với d tại H. Trên d lấy 2 điểm B và C sao cho HB = 3cm, HC = 5cm. Biết AH = 4cm. Tính độ dài các đường xiên AB, AC và so sánh chúng.

Giải:
- Độ dài AB:
$AB = \sqrt{AH^2 + HB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 (cm) <br />- Độ dài AC:<br />$AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \approx 6.4 (cm)$
- Nhận xét: AC > AB vì HC > HB (hình chiếu xa chân vuông góc hơn thì đường xiên dài hơn).

#### 3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán:
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d và AH vuông góc với d (AH = 3cm). Trên d, lấy điểm M sao cho HM = x (x > 0). Hãy biểu diễn độ dài AM theo x và xác định x để AM = 5cm.

Giải:
- Theo định lý Pytago:
$AM = \sqrt{AH^2 + HM^2} = \sqrt{3^2 + x^2} = \sqrt{9 + x^2} <br />- Để AM = 5:<br />$\sqrt{9 + x^2} = 5 \\ \Rightarrow 9 + x^2 = 25 \\ \Rightarrow x^2 = 16 \\ \Rightarrow x = 4$
- Vậy HM = 4cm, khi đó AM = 5cm.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu điểm trên d trùng với chân đường vuông góc, đường nối sẽ là đường vuông góc và ngắn nhất.
- Nếu các đường xiên có hình chiếu bằng nhau (cùng khoảng cách hai phía so với chân vuông góc) thì các đường xiên này sẽ có độ dài bằng nhau.
- Độ dài các đường xiên tỉ lệ với khoảng cách từ chân vuông góc đến điểm trên d.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

#### 5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm đường xiên với đoạn vuông góc.
- Quên sử dụng định lý Pytago để tính độ dài.
- Lẫn lộn hình chiếu và độ dài đường xiên.

#### 5.2 Lỗi về tính toán

- Tính nhầm bình phương số liệu khi dùng công thức.
- Để sót các bước chuyển đổi đơn vị nếu có.
- Chưa kiểm tra lại kết quả, dễ bị sơ suất khi tính số thập phân.

Cách phòng tránh: Luôn đọc kỹ đề bài, vẽ hình, gạch chân dữ kiện quan trọng và kiểm tra lại từng phép tính.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 42.226+ bài tập So sánh độ dài các đường xiên miễn phí tại đây. Không cần đăng ký, luyện tập ngay lập tức.
- Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng giải toán mỗi ngày với hệ thống bài tập tự động.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Đường vuông góc là ngắn nhất, đường xiên càng xa chân vuông góc càng dài.
- Áp dụng công thức Pytago để tính toán độ dài các đoạn.
- Luôn so sánh hình chiếu trên đường thẳng để xác định độ dài các đường xiên.
- Ôn lại lý thuyết, nhớ công thức và thường xuyên luyện tập qua các ví dụ thực tế.

Checklist kiến thức trước khi làm bài:
- Nhận diện đúng đường vuông góc, đường xiên
- Ghi nhớ công thức tính độ dài
- Biết cách so sánh hình chiếu để so sánh độ dài
- Luyện tập nhiều dạng bài tập khác nhau

Chúc các bạn học tốt và sử dụng hiệu quả kho bài tập So sánh độ dài các đường xiên miễn phí!