1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Thực hiện phép chia đa thức một biến là kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 7. Ở phần này, các em sẽ học cách chia một đa thức cho một đa thức khác (thường là chia cho đa thức bậc nhất), tương tự như chia số bình thường nhưng áp dụng cho các biểu thức chứa biến. Hiểu được cách chia đa thức giúp các em giải quyết tốt các bài toán rút gọn, tìm nghiệm và phân tích đa thức, đồng thời là nền tảng cho toán lớp trên (lớp 8, 9 và THPT).

Nắm vững phép chia đa thức giúp các em tự tin xử lý các dạng toán phức tạp hơn, từ đó dễ dàng học tốt các chủ đề như phương trình, hệ phương trình, phân thức,... Bên cạnh đó, kỹ năng này còn ứng dụng trong thực tế: đo lường, tính toán chia đều, giải các bài toán khai triển,... Đặc biệt, các em có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.227+ bài tập để thành thạo kỹ năng này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Đa thức một biến là biểu thức dạng$A(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +... + a_0$, trong đó $a_0, a_1,..., a_n$là các hệ số,$n$là số nguyên không âm và $x$là biến.
• Thực hiện phép chia đa thức một biến là tìm thương$Q(x)$và số dư $R(x)$sao cho:

$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$

với$A(x)$là đa thức bị chia,$B(x)$là đa thức chia (lưu ý $B(x)\ne 0$),$Q(x)$là thương,$R(x)$là số dư (bậc$R(x) < bậc B(x)$).

• Định lý chia đa thức: Với mọi đa thức$A(x)$và $B(x)\ne 0$, tồn tại duy nhất hai đa thức$Q(x)$và $R(x)$sao cho$A(x) = B(x)Q(x) + R(x)$, với$R(x)=0$hoặc bậc$R(x) < bậc B(x)$.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức tổng quát của phép chia đa thức một biến:

$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Trong đó:
-$A(x)$: đa thức bị chia
-$B(x)$: đa thức chia ($B(x) \ne 0$)
-$Q(x)$: thương
-$R(x)$: số dư ($R(x) = 0$hoặc bậc$R(x) < bậc B(x)$)

• Quy tắc thực hiện:
1. Sắp xếp các hạng tử theo thứ tự lũy thừa giảm dần của biến$x$.
2. Lấy hạng tử cao nhất của$A(x)$chia cho hạng tử cao nhất của$B(x)$, được hạng tử đầu của$Q(x)$.
3. Nhân$B(x)$với hạng tử vừa tìm, trừ vào$A(x)$.
4. Lặp lại với đa thức còn lại cho đến khi bậc phần còn lại nhỏ hơn bậc$B(x)$.

• Cách ghi nhớ: Hãy nhớ lại phép chia số tự nhiên có dư, quy trình tương tự khi chia đa thức.
• Lưu ý: Phép chia chỉ áp dụng khi$B(x)\ne 0$.
• Các biến thể: Có thể chia cho đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc cao hơn, nhưng chương trình lớp 7 chủ yếu tập trung vào chia cho đa thức bậc nhất.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Chia đa thức$A(x) = x^2 + 3x + 2$cho$B(x) = x + 1$

Bước 1: Chia$x^2$(hạng tử cao nhất của$A(x)$) cho$x$(hạng tử cao nhất của$B(x)$):
$x^2 \div x = x$

Bước 2: Nhân$B(x)$với$x$, được$x(x + 1) = x^2 + x$.

Bước 3: Trừ $x^2 + x$khỏi$A(x)$:
$(x^2 + 3x + 2) - (x^2 + x) = 2x + 2$

Bước 4: Lặp lại. Chia$2x$cho$x$, được$2$. Nhân$B(x)$với$2$:$2(x + 1) = 2x + 2$.

Trừ tiếp:$(2x + 2) - (2x + 2) = 0$.

Kết quả:$Q(x) = x + 2$,$R(x) = 0$.

Vậy:$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.

Lưu ý: Luôn kiểm tra lại bằng cách nhân thương với số chia rồi cộng số dư để đối chiếu với đa thức ban đầu.

3.2 Ví dụ nâng cao

Chia đa thức$A(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$cho$B(x) = x - 2$

Bước 1:$2x^3 \div x = 2x^2$
Nhân$2x^2$với$x-2$:$2x^3 - 4x^2$
Trừ:$(2x^3 - 3x^2) - (2x^3 - 4x^2) = x^2$
Tiếp tục:$x^2 + 4x - 5$chia$x$:$x^2 \div x = x$
Nhân$x$:$x(x-2) = x^2 - 2x$
Trừ:$(x^2 + 4x - 5) - (x^2 - 2x) = 6x - 5$
$6x \div x = 6$
$6(x-2) = 6x - 12$
$(6x - 5) - (6x - 12) = 7$

Vậy:$Q(x) = 2x^2 + x + 6$,$R(x) = 7$

Kết quả:$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x-2)(2x^2 + x + 6) + 7$.

Kỹ thuật giải nhanh: Luôn làm từng bước cẩn thận, giữ thứ tự các hạng tử và kiểm tra lại sau mỗi phép tính.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$B(x)$là đa thức bậc cao hơn$A(x)$, thương là $0$và số dư là $A(x)$.
• Nếu chia hết (số dư bằng$0$),$A(x)$chia hết cho$B(x)$.
• Với chia cho đa thức bậc nhất dạng$x - a$, số dư là giá trị $A(a)$(theo định lý dư).
• Phép chia đa thức liên quan mật thiết đến phương trình đại số, phân thức đại số,...

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu sai định nghĩa thương, số dư.
• Nhầm lẫn phân biệt số chia là số hay đa thức.
• Dễ nhầm giữa chia đa thức và phân tích đa thức.

5.2 Lỗi về tính toán

• Viết sai thứ tự các hạng tử.
• Nhân, chia không chính xác các hệ số.
• Lẫn lộn dấu cộng trừ khi trừ hai đa thức.
• Để tránh sai sót: luôn ghi từng bước rõ ràng, kiểm tra lại bằng cách thay giá trị hoặc nhân ngược lại.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay kho 42.227+ bài tập Thực hiện phép chia đa thức một biến miễn phí, không cần đăng ký! Luyện tập trực tiếp, kiểm tra đáp án và theo dõi tiến độ học tập để nâng cao kỹ năng nhanh chóng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Nhớ công thức quan trọng:$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$, bậc$R(x) < bậc B(x)$.
• Thực hiện phép chia giống kiểu chia số tự nhiên có dư.
• Làm từng bước, cẩn thận ghi thứ tự các hạng tử và hệ số.
• Sau khi chia, thử lại bằng cách thay giá trị hoặc nhân lại hai đa thức cộng số dư.

Checklist kiến thức trước khi làm bài:
- Thuộc định nghĩa, công thức và quy trình chia đa thức;
- Làm quen với thứ tự đa thức và cách thao tác tính toán;
- Thường xuyên luyện tập các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao.

Hãy lên kế hoạch ôn tập đều đặn và luyện tập ngay để đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán lớp 7!