Blog

Lớp 7

Thực hiện phép trừ đa thức một biến – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 7

T
Tác giả
•
•9 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về phép trừ đa thức một biến và tầm quan trọng

Trong chương trình toán lớp 7, các em bắt đầu làm quen với khái niệm đa thức và các phép toán liên quan đến đa thức, trong đó phép trừ đa thức một biến là một kiến thức nền tảng quan trọng. Việc thành thạo phép trừ đa thức không chỉ giúp các em giải quyết các bài toán đại số một cách hiệu quả mà còn là tiền đề cho các chuyên đề như phương trình, bất phương trình, phân tích đa thức sau này. Hiểu và vận dụng tốt phép trừ đa thức còn giúp học sinh phát triển tư duy logic, kỹ năng thao tác với biểu thức, mở rộng vốn toán học.

2. Định nghĩa chính xác về "Thực hiện phép trừ đa thức một biến"

Cho hai đa thức một biến (thường ký hiệu bởixx):

P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0

Q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0

Phép trừ đa thức một biến là phép toán tìm đa thứcR(x)R(x)sao cho:

R(x) = P(x) - Q(x)

Khi đó,R(x)R(x)là đa thức chứa tất cả các hiệu của các hệ số của các hạng tử cùng bậc giữaP(x)P(x)và Q(x)Q(x). Nếu một đa thức không có bậc nào đó, hệ số của bậc đó được hiểu là 00.

3. Các bước thực hiện phép trừ đa thức một biến (có ví dụ minh họa)

  1. Viết hai đa thức trên cùng một hàng, sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần hoặc tăng dần củaxx.
  2. Thay đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức bị trừ (đưa về dạng cộng đa thức đối).
  3. Cộng các hạng tử đồng dạng (cùng bậc) với nhau.

Ví dụ minh họa:

ChoP(x)=3x3−2x2+4x−1P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 4x - 1,Q(x)=x3+5x−7Q(x) = x^3 + 5x - 7.

Ta cần tínhP(x)−Q(x)P(x) - Q(x).

<br/><br/>P(x)−Q(x)=(3x3−2x2+4x−1)−(x3+5x−7)<br/>=3x3−2x2+4x−1−x3−5x+7<br/>=(3x3−x3)+(−2x2)+(4x−5x)+(−1+7)<br/>=2x3−2x2−x+6<br/><br/><br />\begin{align*}<br />P(x) - Q(x) & = (3x^3 - 2x^2 + 4x - 1) - (x^3 + 5x - 7) \\<br /> & = 3x^3 - 2x^2 + 4x - 1 - x^3 - 5x + 7 \\<br /> & = (3x^3 - x^3) + (-2x^2) + (4x - 5x) + (-1 + 7) \\<br /> & = 2x^3 - 2x^2 - x + 6<br />\\\end{align*}<br />

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Nếu một đa thức không có cùng bậc với đa thức kia, coi hệ số bậc đó là 0 khi thực hiện phép trừ.
  • Cẩn thận với dấu âm, nhất là khi đa thức bị trừ có nhiều hạng tử mang dấu trừ.
  • Sau khi thực hiện phép trừ, nên thu gọn kết quả, gom các hạng tử đồng dạng lại với nhau để đơn giản hóa đa thức.

Ví dụ đặc biệt:

ChoA(x)=x4−2x+3A(x) = x^4 - 2x + 3,B(x)=2x2+x−5B(x) = 2x^2 + x - 5.

Ta sẽ viết lại mỗi đa thức đủ các bậc:
A(x)=x4+0x3+0x2−2x+3A(x) = x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 2x + 3
B(x)=0x4+0x3+2x2+x−5B(x) = 0x^4 + 0x^3 + 2x^2 + x - 5
Thực hiện phép trừ:
A(x)−B(x)=(x4−0x4)+(0x3−0x3)+(0x2−2x2)+(−2x−x)+(3−(−5))A(x) - B(x) = (x^4 - 0x^4) + (0x^3 - 0x^3) + (0x^2 - 2x^2) + (-2x - x) + (3 - (-5))
=x4+0x3−2x2−3x+8= x^4 + 0x^3 - 2x^2 - 3x + 8

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phép trừ đa thức một biến có mối liên hệ chặt chẽ với các phép toán khác:
- Là phép toán ngược với phép cộng đa thức.
- Là một phần trong các bài toán giải phương trình đa thức, chia đa thức, rút gọn biểu thức.
- Khi làm quen với phép trừ, học sinh cũng sẽ luyện tập phép cộng, phép trừ các đơn thức, và tư duy về bậc của đa thức.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Thực hiện phép trừ hai đa thức sau:
P(x)=4x3−3x2+2x−5P(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 5,Q(x)=2x3+x2−x+4Q(x) = 2x^3 + x^2 - x + 4

Lời giải:

<br/><br/>P(x)−Q(x)=(4x3−3x2+2x−5)−(2x3+x2−x+4)<br/>=4x3−3x2+2x−5−2x3−x2+x−4<br/>=(4x3−2x3)+(−3x2−x2)+(2x+x)+(−5−4)<br/>=2x3−4x2+3x−9<br/><br/><br />\begin{align*}<br />P(x) - Q(x) & = (4x^3 - 3x^2 + 2x - 5) - (2x^3 + x^2 - x + 4) \\<br /> & = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 5 - 2x^3 - x^2 + x - 4 \\<br /> & = (4x^3 - 2x^3) + (-3x^2 - x^2) + (2x + x) + (-5 - 4) \\<br /> & = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 9<br />\\\end{align*}<br />

Bài tập 2:A(x)=x2−5x+6A(x) = x^2 - 5x + 6,B(x)=−2x2+7B(x) = -2x^2 + 7.
Hãy tínhA(x)−B(x)A(x) - B(x).

Lời giải:

<br/><br/>A(x)−B(x)=(x2−5x+6)−(−2x2+7)<br/>=x2−5x+6+2x2−7<br/>=(x2+2x2)−5x+(6−7)<br/>=3x2−5x−1<br/><br/><br />\begin{align*}<br />A(x) - B(x) & = (x^2 - 5x + 6) - (-2x^2 + 7) \\<br /> & = x^2 - 5x + 6 + 2x^2 - 7 \\<br /> & = (x^2 + 2x^2) - 5x + (6 - 7) \\<br /> & = 3x^2 - 5x - 1<br />\\\end{align*}<br />

Bài tập 3:M(x)=5x−2M(x) = 5x - 2,N(x)=x2+3x−4N(x) = x^2 + 3x - 4.
TìmN(x)−M(x)N(x) - M(x).

Lời giải:

<br/><br/>N(x)−M(x)=(x2+3x−4)−(5x−2)<br/>=x2+3x−4−5x+2<br/>=x2+(3x−5x)+(−4+2)<br/>=x2−2x−2<br/><br/><br />\begin{align*}<br />N(x) - M(x) & = (x^2 + 3x - 4) - (5x - 2) \\<br /> & = x^2 + 3x - 4 - 5x + 2 \\<br /> & = x^2 + (3x - 5x) + (-4 + 2) \\<br /> & = x^2 - 2x - 2<br />\\\end{align*}<br />

7. Các lỗi thường gặp khi thực hiện phép trừ đa thức một biến và cách tránh

  • Quên đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức bị trừ (khi mở ngoặc). Cách tránh: Khi trừ, hãy viết đầy đủ từng bước, đừng bỏ qua bước đổi dấu.
  • Không cộng các hạng tử đồng dạng, để sót hoặc tính nhầm hạng tử. Cách tránh: Sắp xếp các đa thức theo cùng thứ tự lũy thừa, gạch chân các hạng tử đồng dạng khi làm bài.
  • Không viết đủ các hệ số (bậc bị thiếu coi là 0). Cách tránh: Nếu một đa thức thiếu hạng tử bậc nào, hãy viết hệ số 0 tương ứng trước khi trừ.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Phép trừ đa thức một biến là phép toán cơ bản, sử dụng phổ biến trong nhiều chuyên đề toán học.
  • Khi thực hiện, nhớ phải đổi dấu các hạng tử của đa thức bị trừ rồi cộng các hạng tử đồng dạng.
  • Luôn kiểm tra kỹ các bậc, hệ số và dấu của các hạng tử để tránh nhầm lẫn.
  • Có thể bổ sung hệ số 0 cho những bậc thiếu để thuận tiện thực hiện phép trừ.

Qua bài học này, hi vọng các em đã nắm vững cách thực hiện phép trừ đa thức một biến – một kỹ năng nền tảng vô cùng cần thiết cho học tập toán học lẫn các ứng dụng tiếp theo.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".