Tính chất ba đường phân giác của tam giác – Giải thích chi tiết cho lớp 7

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Tính chất ba đường phân giác của tam giác là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 7 thuộc chương Hình học. Đây là kiến thức nền tảng giúp các em hiểu sâu hơn cấu trúc của tam giác, đồng thời có nhiều ứng dụng trong việc giải toán học và trong đời sống thực tế.

Hiểu rõ tính chất ba đường phân giác giúp các em dễ dàng giải quyết các dạng bài về tam giác, tìm tâm đường tròn nội tiếp, hoặc ứng dụng trong thiết kế, xây dựng. Hãy luyện tập hàng trăm bài tập Tính chất ba đường phân giác của tam giác miễn phí để vững vàng kiến thức!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Đường phân giác của một góc trong tam giác là tia xuất phát từ một đỉnh, chia góc ở đỉnh đó thành hai góc bằng nhau.
• Tam giác có ba đường phân giác – mỗi đỉnh một đường.
• Ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác (ký hiệu là $I$).
• Điều kiện áp dụng: Áp dụng cho mọi tam giác, bất kể là tam giác nhọn, tù hay vuông.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức tính độ dài phân giác từ đỉnh$A$của tam giác$ABC$:
• Nếu$AB = c$,$AC = b$,$BC = a$, phân giác$AD$phân chia$BC$tại$D$, thì:
• $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$

• Độ dài đường phân giác$AD$:
• $AD = \frac{2bc}{b+c} \cos \frac{A}{2}$
• Hoặc dùng định lý Apollonius và các biến thể khác.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho tam giác$ABC$, biết$AB = 6$,$AC = 8$. Đường phân giác$AD$chia$BC$tại$D$. Tính tỉ số $\frac{BD}{DC}$.

• Áp dụng công thức:
• $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Lưu ý: cần xác định đúng các cạnh tương ứng với đỉnh phân giác.

3.2 Ví dụ nâng cao

Tam giác$ABC$có $AB = 7$,$AC = 9$và $BC = 10$. Phân giác$AD$chia$BC$tại$D$. Tính chiều dài$BD$và $DC$.

• $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{7}{9}$
• Giả sử $BD = 7x, DC = 9x$
• Ta có $BD + DC = 10 \Rightarrow 7x + 9x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{16}$
• $BD = 7x = \frac{70}{16} = 4,375$,$DC = 9x = \frac{90}{16} = 5,625$

Kỹ thuật giải nhanh: Đặt ẩn theo tỉ số, giải hệ đơn giản.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu tam giác cân, hai đường phân giác xuất phát từ hai đỉnh góc bằng nhau cũng bằng nhau về độ dài.
• Nếu tam giác đều, ba đường phân giác cũng là ba đường trung tuyến và ba đường cao.
• Đường phân giác có thể trùng hoặc khác với đường cao/trung tuyến/đường trung trực (chỉ trùng nếu tam giác đều).

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa phân giác và trung tuyến, trung trực, đường cao.
• Lẫn lộn hướng phân chia của tỉ số (lấy cạnh không đúng).

5.2 Lỗi về tính toán

• Tính sai tỉ số tỷ lệ do thay nhầm vị trí các cạnh.
• Quên cộng$BD$và $DC$thành$BC$trong hệ phương trình.
• Phương pháp kiểm tra: Thay kết quả vào tổng cạnh, hoặc kiểm tra lại tỉ số.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy truy cập kho bài tập Tính chất ba đường phân giác của tam giác miễn phí với hàng trăm câu hỏi đa dạng về mức độ, giúp bạn nắm vững lý thuyết, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự động theo dõi tiến trình ôn tập. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Tam giác luôn có 3 đường phân giác, cùng cắt nhau tại một điểm duy nhất – tâm đường tròn nội tiếp.
• Tỉ số phân chia:$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.
• Có thể sử dụng các biến thể công thức dựa vào điều kiện từng bài.
• Kiểm tra kỹ vị trí các cạnh và đảm bảo không nhầm lẫn các khái niệm hình học khác.
• Luyện tập đều đặn để thành thạo Tính chất ba đường phân giác của tam giác.