Blog

Giải thích chi tiết: Tính chất ba đường phân giác của tam giác (Toán lớp 7)

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 7, "Tính chất ba đường phân giác của tam giác" là một kiến thức cơ bản và quan trọng thuộc phần Hình học. Đây là nội dung giúp các bạn học sinh hiểu sâu về cấu trúc tam giác, chuẩn bị nền tảng cho các bài toán hình phức tạp hơn.

Việc nắm vững tính chất này giúp các em dễ dàng giải các bài toán chứng minh, dựng hình, cũng như liên hệ với toán thực tế như thiết kế, đo đạc, kiến trúc,... Ngoài ra, hiểu và vận dụng đúng tính chất này là chìa khóa để học tốt các dạng bài về tam giác.

Hãy luyện tập với hơn 42.226+ bài tập Tính chất ba đường phân giác của tam giác miễn phí để củng cố kiến thức ngay hôm nay!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Đường phân giác của một tam giác là đường thẳng xuất phát từ một đỉnh, chia góc tại đỉnh đó thành hai phần bằng nhau và cắt cạnh đối diện.
• Tam giác có ba đường phân giác tương ứng với ba đỉnh.

• Định lý: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

• Điều kiện áp dụng: Chỉ áp dụng cho tam giác, không áp dụng cho các hình khác.

2.2 Công thức và quy tắc

• Định lý phân giác (Định lý về đường phân giác trong tam giác): Nếu đường phân giác trong của gócAAcủa tam giácABCABCcắt cạnhBCBCtạiDDthì:

BDDC=ABAC\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

• Các công thức khác:
- Đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề góc được chia.
- Công thức bán kính đường tròn nội tiếp:r=Spr = \frac{S}{p}, vớiSSlà diện tích tam giác,pplà nửa chu vi tam giác.

• Cách ghi nhớ: Hình dung đường phân giác như chia đôi góc và cắt cạnh đối diện, tạo nên hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.
• Điều kiện sử dụng: Chỉ đúng với đường phân giác nội tiếp.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán:
Cho tam giácABCABC, đường phân giácADAD(vớiDDthuộcBCBC). BiếtAB=6AB = 6(cm),AC=8AC = 8(cm),BC=10BC = 10(cm). Tính độ dàiBDBDDCDC.

Hướng dẫn giải:
• Theo định lý đường phân giác:BDDC=ABAC=68=34\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.
• GọiBD=3x,DC=4xBD = 3x, DC = 4x, ta có BD+DC=BC=10BD + DC = BC = 10nên3x+4x=103x + 4x = 10 \Rightarrow 7x = 10x=107\Rightarrow x = \frac{10}{7}.
• VậyBD=3x=307BD = 3x = \frac{30}{7}(cm),DC=4x=407DC = 4x = \frac{40}{7}(cm).

Hình minh họa: Minh họa tam giác ABC với các cạnh AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm; đường phân giác AD tại D chia BC thành BD = 30/7 cm ≈ 4.29 cm và DC = 40/7 cm ≈ 5.71 cm
Minh họa tam giác ABC với các cạnh AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm; đường phân giác AD tại D chia BC thành BD = 30/7 cm ≈ 4.29 cm và DC = 40/7 cm ≈ 5.71 cm

Lưu ý:
- Luôn xác định đúng các đoạn thẳng cần tính.
- Kiểm tra tổngBD+DCBD + DCcó bằngBCBCkhông để đảm bảo kết quả đúng.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán:
Cho tam giácABCABCAB=7AB = 7(cm),AC=9AC = 9(cm),BC=12BC = 12(cm). Đường phân giácADADchiaBCBCtạiDD. TínhBDBDDCDC. Nếu biết thêm điểmIIlà giao điểm ba đường phân giác, hãy tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Giải:
- BDDC=ABAC=79\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{7}{9}.
- Gọi BD=7x,DC=9xBD = 7x, DC = 9xthì 7x+9x=1216x=12x=1216=347x + 9x = 12 \Rightarrow 16x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}.
- BD=7x=214BD = 7x = \frac{21}{4}(cm),DC=9x=274DC = 9x = \frac{27}{4}(cm).
- Diện tíchSStam giác dùng công thức Heron:
+ Nửa chu vip=7+9+122=14p = \frac{7 + 9 + 12}{2} = 14(cm)
+S=14(147)(149)(1412)=14×7×5×2=98031.3S = \sqrt{14(14-7)(14-9)(14-12)} = \sqrt{14 \times 7 \times 5 \times 2} = \sqrt{980} \approx 31.3 (cm2^2)
- Bán kính đường tròn nội tiếp: r=Sp=31.3142.24r = \frac{S}{p} = \frac{31.3}{14} \approx 2.24 (cm).
Kỹ thuật giải nhanh: sử dụng công thức phân giác và Heron để giảm sai sót khi tính diện tích.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Ba đường phân giác luôn đồng quy (giao nhau tại 1 điểm – tâm đường tròn nội tiếp), không phụ thuộc vào loại tam giác (nhọn, tù hay vuông).
- Với tam giác đều, ba đường phân giác cũng là ba đường trung tuyến và ba đường cao.
- Không áp dụng cho các đa giác khác.

- Nếu đường phân giác ngoài, các tính chất về tỉ số cạnh chỉ đúng với phân giác trong.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm phân giác với đường trung tuyến, đường cao hoặc đường trung trực.
- Quên điều kiện: chỉ áp dụng với tam giác, chỉ cho phân giác trong.

- Để phân biệt: phân giác là đường chia đôi góc tại một đỉnh.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai trong lập tỉ lệ khi áp dụng công thức phân giác.
- Nhầm cạnh hoặc nhầm giá trị cần tính.
- Quên kiểm tra tổng hai đoạnBDBDDCDCcó đúng bằngBCBCkhông.

- Phương pháp kiểm tra: Thay kết quả vào công thức và đối chiếu với tổng cạnh đối diện.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy truy cập kho 42.226+ bài tập Tính chất ba đường phân giác của tam giác miễn phí để luyện tập và củng cố kiến thức.
- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay.
- Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng từng ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Đường phân giác là đường chia đôi góc của tam giác.
  • Ba đường phân giác của tam giác luôn đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp.
  • Định lý phân giác:BDDC=ABAC\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
  • Quan sát kỹ yêu cầu đề bài trước khi áp dụng công thức.
  • Luyện tập nhiều với các dạng toán khác nhau để thuộc tính chất.

Checklist kiến thức:
- Hiểu rõ khái niệm đường phân giác và vị trí trong tam giác
- Thuộc các công thức và định lý cơ bản
- Đã luyện tập thực hành với nhiều dạng bài chuyên đề
- Biết kiểm tra và xác nhận kết quả sau khi giải xong

Kế hoạch ôn tập hiệu quả:
- Đọc kỹ lý thuyết và ghi nhớ các công thức.
- Làm từ cơ bản đến nâng cao với từng dạng bài.
- Thực hành, luyện tập mỗi ngày với 42.226+ bài tập miễn phí để đạt kết quả cao nhất.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".