Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch – Giải thích chi tiết dành cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về "Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch"

Trong chương trình toán học lớp 7, các khái niệm về tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch là những nội dung nền tảng. Chúng giúp học sinh hiểu được mối quan hệ giữa các đại lượng trong thực tế và là cơ sở để học các phần toán học nâng cao như hàm số, phương trình, và giải các bài toán thực tế. Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch được ứng dụng rất nhiều: từ các bài toán vận tốc, thời gian, năng suất lao động đến các dạng bài tập thực tế về phân chia công việc hằng ngày.

2. Định nghĩa chính xác về đại lượng tỉ lệ nghịch

Hai đại lượng$x$và $y$ được gọi là tỉ lệ nghịch với nhau nếu tích của chúng luôn bằng một hằng số khác$0$, tức là:

$x imes y = k, (k \ne 0)$
Trong đó:$x$và $y$là hai đại lượng,$k$là hằng số khác$0$.
Khi$x$tăng bao nhiêu lần thì $y$giảm bấy nhiêu lần và ngược lại.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử một nhóm công nhân làm một công việc trong một thời gian nhất định. Số công nhân và số giờ để hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Nếu số công nhân tăng lên thì thời gian hoàn thành công việc sẽ giảm đi với điều kiện khối lượng công việc không đổi.

• Ví dụ: 4 công nhân cùng hoàn thành một công việc trong 6 giờ. Nếu tăng số công nhân lên thành 8, hỏi thời gian hoàn thành công việc là bao nhiêu giờ?

Gọi$x$là số công nhân,$y$là số giờ làm việc. Theo tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch:

$<br />4 \times 6 = 8 imes y<br />$

Giải ra:$8y = 24 \Rightarrow y = 3$. Vậy thời gian hoàn thành là 3 giờ.

Nhận xét: Số công nhân tăng gấp đôi (từ $4$lên$8$) thì thời gian giảm đi một nửa (từ $6$giờ xuống còn$3$giờ).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Đại lượng phải khác$0$(vì nếu$x = 0$hoặc$y = 0$thì tích$x \times y = 0$, không còn gọi là tỉ lệ nghịch nữa).
• Chỉ áp dụng với điều kiện tổng khối lượng công việc không thay đổi.
• Phải xác định rõ hai đại lượng có mối liên hệ thực sự là tỉ lệ nghịch trước khi áp dụng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Đại lượng tỉ lệ nghịch là trường hợp đặc biệt của hàm số bậc nhất và liên quan đến nhiều khái niệm khác trong đại số như:

• Hàm số tỉ lệ nghịch:$y = \frac{k}{x}$.
• Phương trình tích:$x \times y = k$.
• Tỉ lệ thuận: ngược lại với tỉ lệ nghịch, có dạng$y = kx$.
• Giải bài toán thực tế sử dụng đại lượng tỉ lệ nghịch để rút ngắn/giãn thời gian, phân chia công việc, tốc độ.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

• Bài tập 1: Cho biết$x$và $y$là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, khi$x = 5$thì $y = 12$. Tìm$y$khi$x = 8$.

Lời giải:

Vì $x$và $y$tỉ lệ nghịch nên$x \times y = k$

Khi$x=5$,$y = 12 \Rightarrow 5 \times 12 = 60 = k$

Khi$x = 8$,$y =?$

$8 \times y = 60 \Rightarrow y = \frac{60}{8} = 7,5$

Đáp số:$y = 7,5$

• Bài tập 2: Một bể nước có thể chứa đầy bởi 3 vòi nước chảy cùng lúc trong 40 phút. Nếu chỉ dùng 2 vòi, thời gian để đầy bể là bao nhiêu phút?

Lời giải:

Gọi số vòi nước là $x$, thời gian là $y$($x, y > 0$)

$3 \times 40 = 2 \times y \Rightarrow 120 = 2y \Rightarrow y = 60$

Đáp số: 60 phút

• Bài tập 3: Hai đại lượng$x, y$tỉ lệ nghịch với nhau.$x=7, y=9$. Nếu$x$tăng gấp 3 lần thì $y$sẽ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

gọi$x_2 = 3 \times 7 = 21$,$y_2 =?$

Vì $x \times y$không đổi, ta có:$7 \times 9 = 21 \times y_2 \Rightarrow 63 = 21y_2 \Rightarrow y_2 = 3$

Vậy$y$giảm còn 1/3 so với ban đầu.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa tỉ lệ nghịch và tỉ lệ thuận (phải kiểm tra điều kiện bài toán).
• Quên kiểm tra đại lượng không được bằng$0$.
• Tính nhầm hằng số $k$hoặc bỏ qua bước tìm$k$.
• Đặt sai ẩn số, không xét đủ đơn vị và điều kiện của các đại lượng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hai đại lượng$x, y$tỉ lệ nghịch khi và chỉ khi$x \times y = k$với$k \ne 0$.
- Khi một đại lượng tăng$n$lần thì đại lượng kia giảm$n$lần.
- Xác định rõ hai đại lượng có mối quan hệ tỉ lệ nghịch trước khi giải bài toán.
- Luôn kiểm tra điều kiện của các đại lượng tham gia bài toán (không bằng$0$).
- Các bài toán thực tế về công việc, vận tốc, năng suất thường là ứng dụng của đại lượng tỉ lệ nghịch.