Xác định các yếu tố của hình hộp chữ nhật – Hướng dẫn chi tiết dành cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 7, "Xác định các yếu tố của hình hộp chữ nhật" là kiến thức trọng tâm thuộc phần hình học. Việc hiểu rõ các yếu tố của hình hộp chữ nhật giúp học sinh nhận diện, phân tích các đặc điểm hình khối, phục vụ cho nhiều bài toán tính toán thể tích, diện tích, nhận biết các dạng hình học không gian. Khái niệm này không chỉ quan trọng trong lớp học mà còn rất hữu ích trong thực tế, như khi đóng gói, xây dựng, thiết kế, lắp ráp các vật thể có dạng hình hộp chữ nhật. Ngoài ra, bạn còn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập để làm chủ nội dung này.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là một hình không gian có 6 mặt đều là hình chữ nhật, các mặt đối diện song song và bằng nhau.
• Các yếu tố căn bản cần xác định:

• - 8 đỉnh (A, B, C, D, A', B', C', D').
• - 12 cạnh (các cạnh song song và bằng nhau từng cặp).
• - 6 mặt (mỗi mặt là hình chữ nhật).
• - Đường chéo mặt, đường chéo hình hộp.

• Định lý: Trong hình hộp chữ nhật, các mặt đối diện song song, bằng nhau; các đường chéo mặt và đường chéo hình hộp có độ dài xác định theo các cạnh của hình.

• Điều kiện áp dụng: Áp dụng khi hình có đủ 6 mặt chữ nhật, các mặt đối diện song song, các cạnh bằng nhau từng cặp.

2.2 Công thức và quy tắc

- Thể tích: $V = a \times b \times c$
- Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 2(a + b) \times h$
- Diện tích toàn phần: $S_{tp} = 2(ab + bc + ac)$
- Độ dài đường chéo hình hộp: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
(Các đại lượng $a, b, c$ lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật).

• Ghi nhớ công thức bằng cách vẽ hình và tự liên hệ giữa các yếu tố, cùng luyện tập nhiều lần để thành thạo. Mỗi công thức có điều kiện là phải đúng với hình hộp chữ nhật chuẩn (không méo lệch, không bị biến dạng).

• Biến thể: Nếu$a = b = c$thì hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật$ABCD.A'B'C'D'$có các kích thước$AB = 4$cm,$AD = 3$cm,$AA' = 5$cm. Hãy xác định số mặt, số cạnh, số đỉnh, các đường chéo mặt, đường chéo hình hộp và tính diện tích toàn phần, thể tích.

* Lời giải:

1. Có 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt. Các mặt đối diện song song và bằng nhau.
2. Độ dài đường chéo mặt đáy $AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ cm.
3. Độ dài đường chéo hình hộp $AC' = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA'^2} = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{16+9+25} = \sqrt{50} \approx 7,07$ cm.
4. Thể tích:$V = 4 \times 3 \times 5 = 60$cm^3$S_{tp} = 2(4 \times 3 + 4 \times 5 + 3 \times 5) = 2(12 + 20 + 15) = 94$cm^2" data-math-type="inline"> $.<!--LATEX_PROCESSED_1755544903643--></li><li>Diện tích toàn phần:<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mrow><mi>t</mi><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">(</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>5</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">(</mo><mn>12</mn><mo>+</mo><mn>20</mn><mo>+</mo><mn>15</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>94</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S_{tp} = 2(4 \times 3 + 4 \times 5 + 3 \times 5) = 2(12 + 20 + 15) = 94</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2806em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0576em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">tp</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">4</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">3</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">4</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">5</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">3</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">5</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">12</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">20</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">15</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">94</span></span></span></span></span>cm^2$
5. Diện tích toàn phần:$S_{tp} = 2(4 \times 3 + 4 \times 5 + 3 \times 5) = 2(12 + 20 + 15) = 94$cm^2$ .

Lưu ý: Khi giải cần xác định đúng các yếu tố và nhớ áp dụng đúng công thức.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Một hình hộp chữ nhật có các kích thước lần lượt là $a = 6$cm,$b = 4$cm,$c = 3$cm. Biết diện tích tổng các mặt bên là $72$cm^2$, hãy tìm chiều cao$c$2(a + b) \times c = 72$cm^2" data-math-type="inline"> $, tính bán kính và diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp.<!--LATEX_PROCESSED_1755544903645--></p><p><strong>* Lời giải: </strong></p><ol><li>Số mặt bên là 4, diện tích mặt bên bằng<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>2</mn><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>×</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mn>72</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">2(a + b) \times c = 72</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">c</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">72</span></span></span></span></span>cm^2$

* Lời giải:

1. Số mặt bên là 4, diện tích mặt bên bằng$2(a + b) \times c = 72$cm^2$ .
2. $2(6 + 4) \times c = 72 \rightarrow 2 \times 10 \times c = 72 \rightarrow c = 3,6$cm.
3. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{1}{2} \sqrt{6^2 + 4^2 + (3.6)^2} \approx 4,14$ cm.
4. Diện tích mặt cầu:$S = 4\pi R^2 \approx 4 \times 3.14 \times (4.14)^2 \approx 214.98$cm^2$.

Lưu ý: Cần xác định đúng số mặt bên, phân biệt với diện tích toàn phần.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Khi$a = b = c$thì hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương. Các công thức vẫn áp dụng, nhưng đơn giản hơn do các cạnh bằng nhau ($S_{tp} = 6a^2$,$V = a^3$).
• Nếu$c = 0$thì hình không còn là hình hộp chữ nhật mà là hình phẳng.
• Đối với hình hộp chữ nhật có các kích thước bằng nhau hai một (ví dụ $a = b \neq c$), có thể rút gọn các bước tính toán.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• - Hiểu nhầm hình hộp chữ nhật với hình lập phương (hình hộp chữ nhật có các cạnh không nhất thiết phải bằng nhau nếu không nói là hình lập phương).
• - Lẫn lộn đường chéo mặt với đường chéo hình hộp.

• Phân biệt bằng cách nhớ: đường chéo mặt nằm trong một mặt phẳng, còn đường chéo hình hộp đi qua hai đỉnh đối diện không thuộc cùng một mặt.

5.2 Lỗi về tính toán

• - Nhập sai số liệu cạnh hoặc quên đổi đơn vị khi tính.
• - Sử dụng nhầm công thức của một loại hình khác (ví dụ: áp dụng nhầm công thức diện tích hình lập phương với hình hộp chữ nhật).

• Để kiểm tra kết quả, hãy thay số lại vào từng công thức và kiểm tra tính hợp lý.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 42.226+ bài tập Xác định các yếu tố của hình hộp chữ nhật miễn phí.
- Không cần đăng ký, rèn luyện kỹ năng mọi lúc, mọi nơi.
- Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng qua từng bài luyện tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• - Hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt.
• - Nhớ công thức thể tích, diện tích, đường chéo hình hộp.
• - Không nhầm lẫn các yếu tố và công thức với hình lập phương.

Checklist kiến thức: Đã thuộc công thức, vẽ được hình, xác định chính xác các yếu tố, kiểm tra lại phần tính toán.

Hãy lên kế hoạch ôn tập 20 phút mỗi ngày với các bài tập thực hành để nắm vững bài học!