1. Giới thiệu và tầm quan trọng

“Xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” là một kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 7, đặc biệt thuộc phần Hình học. Để giải quyết thành thạo các bài toán về khoảng cách, học sinh cần hiểu rõ khái niệm, lý thuyết cũng như các dạng bài thường gặp.

Hiểu rõ khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng giúp bạn không chỉ học tốt các chủ đề hình học mà còn vận dụng vào thực tế: đo khoảng cách từ nhà đến đường, thiết kế bản đồ, xây dựng… Đặc biệt, nắm vững khái niệm này giúp bạn tự tin giải quyết các tình huống thực tế và các bài kiểm tra một cách chính xác.

Bạn hoàn toàn có thể luyện tập miễn phí với 38.208+ bài tập Xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ngay tại đây.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

- Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm$A$ đến một đường thẳng$d$là độ dài đoạn thẳng vuông góc kẻ từ $A$ đến$d$(ký hiệu là $AH$với$H$là hình chiếu vuông góc của$A$lên$d$).

- Các định lý và tính chất chính: Đường vuông góc kẻ từ điểm đến đường thẳng duy nhất xác định; đoạn thẳng này là đường ngắn nhất từ điểm đến đường thẳng; chỉ có một hình chiếu vuông góc duy nhất.

- Điều kiện áp dụng: Chỉ xác định được khi điểm nằm ngoài đường thẳng. Khoảng cách luôn là số dương.

- Công thức cần thuộc lòng (trên mặt phẳng Oxy): Giả sử điểm$A(x_0; y_0)$và đường thẳng$d: ax + by + c = 0$, khoảng cách từ $A$ đến$d$là:

$d(A, d) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

- Cách ghi nhớ: Tử là giá trị tuyệt đối thay$x_0, y_0$vào phương trình đường thẳng, mẫu là căn bậc hai tổng bình phương hệ số $x$và $y$.
- Công thức này áp dụng cho mặt phẳng tọa độ. Với những bài hình học cơ bản, xác định H là hình chiếu vuông góc rồi đo$AH$.

- Biến thể: Nếu bài toán không cho toạ độ, có thể vẽ hình và áp dụng định lý Pythagoras hoặc tính toán dựa trên tam giác vuông.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

Cho điểm$A(2; 3)$và đường thẳng$d: 3x + 4y - 6 = 0$. Hãy tính khoảng cách từ $A$ đến$d$.

Bước 1: Thay toạ độ điểm vào công thức:

$d(A, d) = \frac{|3 \,. \, 2 + 4 \,. \, 3 - 6|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$

Bước 2: Tính tử số:$3 \times 2 + 4 \times 3 - 6 = 6 + 12 - 6 = 12$. Lấy giá trị tuyệt đối là $|12| = 12$.

Bước 3: Tính mẫu số: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Kết quả:$d(A, d) = \frac{12}{5} = 2{,}4$

Lưu ý: Không quên lấy giá trị tuyệt đối và tính căn bậc hai chính xác.

Cho tam giác$ABC$, biết$AB = 5$,$AC = 3$,$BC = 4$. Xác định khoảng cách từ đỉnh$A$ đến cạnh$BC$.

Đây là ứng dụng định lý Heron hoặc công thức tính diện tích tam giác theo ba cạnh để tìm chiều cao.

- Tính diện tích tam giác với ba cạnh:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$, với $p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{5 + 3 + 4}{2} = 6$.

$S = \sqrt{6(6-5)(6-3)(6-4)} = \sqrt{6 \times 1 \times 3 \times 2} = \sqrt{36} = 6$

- Ta có:$S = \frac{1}{2} \,. \, BC \,. \, h$, nên$6 = \frac{1}{2} \times 4 \times h \Rightarrow h = 3$.

Vậy khoảng cách từ $A$ đến$BC$là $3$.

Mẹo: Khi đề bài cho ba cạnh thì dùng công thức diện tích để suy ngược ra chiều cao.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Trường hợp điểm nằm trên đường thẳng: khoảng cách bằng$0$.
- Nếu điểm nằm bên ngoài mặt phẳng hoặc đường thẳng không xác định trên mặt phẳng đã cho, không áp dụng được công thức trên.
- Nếu đường thẳng song song với trục toạ độ, công thức có thể rút gọn như chỉ lấy hiệu hoành độ hoặc tung độ rồi lấy trị tuyệt đối và chia cho độ dài hệ số khác$0$.

Khoảng cách còn dùng nhiều trong các bài toán về hình vuông, hình bình hành, nhất là khi phân tích các hình học phẳng.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm khoảng cách với độ dài bất kỳ từ điểm đến đường thẳng (phải là đường vuông góc).
- Viết sai vị trí các hệ số trong công thức.
- Quên lấy giá trị tuyệt đối hoặc căn bậc hai.

Cách khắc phục: Ghi nhớ rằng khoảng cách là đoạn ngắn nhất (vuông góc) và công thức phải luôn có dấu giá trị tuyệt đối.

- Tính sai mẫu số $\sqrt{a^2+b^2}$, tính tử số quên giá trị tuyệt đối.
- Quên chia cho căn bậc hai trong kết quả cuối cùng.
- Sai đơn vị hoặc bỏ dấu phẩy khi tính toán.

Phương pháp kiểm tra: Tính thủ công lại từng bước, kiểm tra lại mẫu và tử, thực hiện lại phép lấy căn và tuyệt đối.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy truy cập ngay 38.208+ bài tập Xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng miễn phí. Không cần đăng ký. Bạn có thể bắt đầu luyện tập, kiểm tra tiến độ, ghi nhớ kiến thức và cải thiện kỹ năng giải nhanh, chính xác.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là đoạn vuông góc ngắn nhất.
- Công thức cần thuộc: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
- Ghi nhớ tuyệt đối, căn bậc hai, và xét điều kiện áp dụng.
- Nắm được các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao.
- Luyện tập đều đặn để không mắc lỗi cơ bản.

Checklist trước khi làm bài:
[ ] Xác định toạ độ điểm và phương trình đường thẳng
[ ] Viết đúng công thức
[ ] Kiểm tra lại số liệu trước khi tính toán
[ ] Thực hiện bước lấy giá trị tuyệt đối và căn bậc hai
[ ] Soát lại kết quả cuối cùng

Chúc các bạn học tốt và đạt điểm cao!