Xác định số hữu tỉ từ điểm trên trục số: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 7

1. Giới thiệu về xác định số hữu tỉ từ điểm trên trục số

Trong chương trình Toán lớp 7, học sinh không chỉ học về tập hợp các số hữu tỉ ($\mathbb{Q}$) mà còn tìm hiểu cách xác định giá trị của một số hữu tỉ khi điểm biểu diễn số đó được cho trên trục số. Đây là một kỹ năng rất quan trọng, giúp các em làm chủ khái niệm số hữu tỉ, nắm rõ sự biểu diễn số trên trục số và xây dựng nền tảng vững chắc cho các phần kiến thức sau này, như đại số, giải phương trình và cả hình học tọa độ.

2. Định nghĩa: Xác định số hữu tỉ từ điểm trên trục số là gì?

Trục số là một đường thẳng, trên đó mỗi điểm tương ứng với một số thực. Việc xác định số hữu tỉ từ một điểm trên trục số nghĩa là: Dựa vào vị trí của điểm đã cho (cùng với các mốc trên trục như số 0, 1, -1,...) để tìm ra số hữu tỉ mà điểm đó biểu diễn. Một số hữu tỉ là số có thể biểu diễn dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$, với$a, b$là các số nguyên và $b \neq 0$.

3. Các bước xác định số hữu tỉ từ điểm trên trục số

Hãy cùng đi qua từng bước cụ thể để xác định số hữu tỉ từ một điểm trên trục số:

• Bước 1. Xác định vị trí điểm 0 (gốc tọa độ) và các điểm nguyên lân cận (thường là 0, 1, -1, 2, -2...).
• Bước 2. Nhìn vào đoạn chia nhỏ giữa hai số nguyên để biết khoảng cách giữa chúng chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.
• Bước 3. Đếm số khoảng nhỏ từ 0 (hoặc từ số nguyên gần nhất) đến điểm đã cho.
• Bước 4. Xác định số hữu tỉ tương ứng: phân số sẽ có tử số là số khoảng đi được (có thể dương hoặc âm), mẫu số là tổng số phần chia nhỏ giữa hai số nguyên.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho trục số như sau:

0 ---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|--- 1

Có 10 đoạn chia bằng nhau giữa 0 và 1. Điểm$M$nằm ở vạch thứ 3 (tính từ 0). Xác định số hữu tỉ ứng với điểm$M$.

Giải:
- Từ 0 đến 1 chia thành 10 phần bằng nhau$ightarrow$mẫu số là 10.
- Điểm$M$nằm ở vạch thứ 3 (không tính vạch 0). Tử số là 3.
- Vậy số hữu tỉ ứng với điểm$M$là $\frac{3}{10}$.

Ví dụ 2: Nếu điểm N nằm ở bên trái số 0, ở vạch thứ 2 (mỗi đơn vị cũng chia 5 vạch), vậy số hữu tỉ biểu diễn điểm N là gì?

Giải:
- Giữa 0 và -1 chia thành 5 phần bằng nhau, mẫu số là 5.
- Điểm$N$ ở vạch thứ 2 bên trái 0$ightarrow$vị trí là $-\frac{2}{5}$.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu điểm trùng với số nguyên: Giá trị biểu diễn chính là số nguyên đó ($0, 1, -1, 2,...$)
• Nếu giữa hai số nguyên$a$và $a+1$chia thành$n$phần thì mỗi phần ứng với$\frac{1}{n}$.
• Nếu điểm nằm ở vạch thứ $k$(từ $a$), số biểu diễn là $a + \frac{k}{n}$(chú ý dấu nếu nằm ở bên trái 0).
• Cần xác định đúng chiều (+ hoặc -) trên trục số để xác định dấu của số hữu tỉ.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số là bước đầu liên kết với giá trị tuyệt đối, khoảng cách số học.
- Kỹ năng chia đoạn bằng nhau trên trục số giúp học sinh hiểu sâu về phân số, số thập phân.
- Từ điểm trên trục số, học sinh thực hành quy đổi giữa số thập phân và phân số.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Trên trục số, đoạn từ 0 đến 1 được chia thành 8 phần bằng nhau. Điểm$A$ ở vạch chia thứ 5 (kể từ 0). Xác định số hữu tỉ biểu diễn điểm$A$.

Lời giải:
- Đoạn 0 đến 1 chia làm 8 phần, mỗi vạch ứng với$\frac{1}{8}$.
- Vạch thứ 5 từ 0 là $\frac{5}{8}$.
- Số hữu tỉ là $\frac{5}{8}$.

Bài tập 2: Từ 0 đến -1 chia 4 phần bằng nhau, điểm$B$ ở vạch chia thứ 3 (bên trái 0).

Lời giải:
- Mỗi phần là $\frac{1}{4}$.
- Bên trái 0, vạch thứ 3 là $-\frac{3}{4}$.
- Số hữu tỉ:$-\frac{3}{4}$.

Bài tập 3: Khoảng từ 2 đến 3 chia thành 10 phần bằng nhau. Điểm$C$ ở vạch chia thứ 7 từ 2.

Lời giải:
- Mỗi phần là $\frac{1}{10}$.
- Vị trí điểm$C$:$2 + \frac{7}{10} = \frac{20}{10} + \frac{7}{10} = \frac{27}{10}$.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn số lượng phần chia: cần đếm chính xác số phần chia, không phải số vạch.
• Quên xác định hướng (âm/dương) của số hữu tỉ: điểm bên trái 0 thì số âm.
• Không rút gọn phân số khi cần thiết.

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Mỗi điểm trên trục số ứng với một số hữu tỉ.
• Cần xác định chính xác cột mốc 0, các số nguyên, số phần nhỏ và vị trí điểm.
• Luôn để ý dấu của số: bên phải 0 là số dương, bên trái là số âm.
• Hiểu và vận dụng được các bước để tìm số hữu tỉ từ điểm trên trục số.