1. Giới thiệu về hằng đẳng thức đáng nhớ và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 8, “Hằng đẳng thức đáng nhớ” là một trong những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất thuộc chủ đề đại số. Đây là các công thức biến đổi biểu thức đại số đặc biệt, giúp học sinh rút gọn, phân tích, giải phương trình, và xử lý các bài toán phức tạp. Việc nhớ và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức này giúp tạo tiền đề cho việc học Toán ở cả các lớp trên.

2. Định nghĩa và các hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản

• Hằng đẳng thức là những biểu thức toán học luôn đúng với mọi giá trị của các biến số có trong biểu thức đó.

Ba hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản bạn cần học ở lớp 8 là:

• Bình phương của một tổng:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

• Bình phương của một hiệu:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

• Hiệu hai bình phương:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy cùng phân tích từng hằng đẳng thức bằng cách giải thích và lấy ví dụ cụ thể.

a) Bình phương của một tổng

Công thức:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Giải thích: Khi bình phương một tổng, ta lấy bình phương số thứ nhất, cộng hai lần tích của hai số, rồi cộng bình phương số thứ hai.

Ví dụ minh họa:

Tính$(3 + 5)^2$bằng hai cách:

- Cách 1:$(3 + 5)^2 = 8^2 = 64$
- Cách 2: Áp dụng hằng đẳng thức:$(3 + 5)^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times 5 + 5^2 = 9 + 30 + 25 = 64$
Hai cách cho cùng một kết quả!

b) Bình phương của một hiệu

Công thức:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Giải thích: Bình phương một hiệu là bình phương số thứ nhất, trừ đi hai lần tích của hai số, rồi cộng bình phương số thứ hai.

Ví dụ minh họa:

Tính$(7 - 2)^2$bằng hai cách:

- Cách 1:$(7 - 2)^2 = 5^2 = 25$
- Cách 2: Áp dụng hằng đẳng thức:$7^2 - 2 \times 7 \times 2 + 2^2 = 49 - 28 + 4 = 25$.
Hai cách cho cùng kết quả!

c) Hiệu hai bình phương

Công thức:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Giải thích: Hiệu của hai số bình phương luôn có thể tách thành tích của tổng và hiệu của hai số đó.

Ví dụ minh họa:

Tính$9^2 - 4^2$
- Cách 1:$9^2 - 4^2 = 81 - 16 = 65$
- Cách 2:$(9 - 4)(9 + 4) = 5 \times 13 = 65$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Khi$a = b$:$(a + b)^2 = (2a)^2 = 4a^2$,$(a - b)^2 = 0$
• Khi$b = 0$:$(a + 0)^2 = a^2$,$(a - 0)^2 = a^2$
• Hiệu hai bình phương:$a^2 - b^2 = 0$khi$a = b$.

Lưu ý: Không nhầm lẫn$\boxed{(a + b)^2 = a^2 + b^2}$(sai), luôn phải nhớ có thêm$2ab$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Các hằng đẳng thức đáng nhớ là nền tảng để:
- Phân tích đa thức thành nhân tử (chương sau)
- Giải phương trình bậc hai
- Áp dụng trong tính nhẩm, rút gọn biểu thức, các bài chứng minh

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tính$x$biết$(x + 3)^2 = 49$.
Giải:
$(x + 3)^2 = 49 \Rightarrow x + 3 = 7$hoặc$x + 3 = -7$
$\to x = 4$hoặc$x = -10$

Bài 2: Rút gọn biểu thức:$A = (2x + 5)^2 - (2x - 5)^2$
Áp dụng hiệu hai bình phương:
$A = [(2x + 5) - (2x - 5)][(2x + 5) + (2x - 5)]$
$= (2x + 5 - 2x + 5)(2x + 5 + 2x - 5)$
$= (10)(4x)$
$= 40x$

Bài 3: Viết$a^2 + 2ab + b^2$dưới dạng bình phương một tổng.
Giải:
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Cách tránh: Luôn viết nháp hằng đẳng thức ra giấy trước khi tính toán, luyện tập nhiều bài tập liên quan.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Việc học kỹ và vận dụng các hằng đẳng thức này giúp bạn tiến xa trong học tập Toán học ở bậc THCS và THPT.