Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác – Kiến thức trọng tâm và hướng dẫn luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

“Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác” là chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 8 chương Hình học. Đường phân giác là khái niệm xuất hiện xuyên suốt trong các bài toán hình học và có ứng dụng thực tiễn đa dạng như chia đoạn thẳng tỉ lệ, tính toán thiết kế, xây dựng, vẽ kỹ thuật... Việc hiểu rõ và vận dụng được tính chất của đường phân giác giúp học sinh giải quyết hiệu quả nhiều bài toán từ cơ bản đến nâng cao, chuẩn bị nền tảng vững chắc để học tốt các lớp cao hơn. Ngoài ra, bạn có cơ hội luyện tập miễn phí hơn 42.226+ bài tập giúp nâng cao kỹ năng thực hành và củng cố kiến thức.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Đường phân giác của một góc trong tam giác là đường thẳng chia góc đó thành hai phần bằng nhau.

- Định lý đường phân giác: Trong tam giác$ABC$, nếu đường phân giác trong$AD$(với$D$thuộc cạnh$BC$), thì:

$<br />\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}<br />$

- Điều kiện áp dụng: Phải chắc chắn$AD$là đường phân giác (chia góc$BAC$thành hai góc bằng nhau tại đỉnh$A$).

2.2 Công thức và quy tắc

Công thức gốc: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

- Ghi nhớ: Đặt “cạnh đối diện” phía trên, luôn so sánh theo thứ tự các điểm trên cạnh.

- Điều kiện: Chỉ áp dụng khi$AD$là phân giác một góc của tam giác.

- Biến thể: Đường phân giác ngoài, phân giác góc ngoài tại một đỉnh, khái niệm này cũng có tính chất tương tự, nhưng đổi vị trí tỉ số cho phù hợp với hình vẽ.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Tam giác$ABC$có $AB = 6$cm,$AC = 9$cm. Đường phân giác$AD$($D$thuộc$BC$). Biết$BD = x$,$DC = y$. Tính tỉ số $\frac{x}{y}$?

Giải từng bước:

Áp dụng định lý đường phân giác:
$<br />\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}<br />$
Vậy$\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$.

- Lưu ý: Luôn đối chiếu thứ tự cạnh và chú ý xác định đúng đoạn thẳng và cạnh tương ứng trong tỉ lệ.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho tam giác$ABC$với$AB = 8$cm,$AC = 12$cm,$BC = 14$cm. Đường phân giác$AD$cắt$BC$tại$D$. Tính độ dài$BD$và $DC$.

Áp dụng định lý:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$;

Đặt$BD = 2x$,$DC = 3x$. Ta có:
$<br />BD + DC = BC <br /> \Rightarrow 2x + 3x = 14<br /> \Rightarrow 5x = 14 <br /> \Rightarrow x = \frac{14}{5} = 2,8<br />$
Nên$BD = 2x = 5,6$cm,$DC = 3x = 8,4$cm.

Kỹ thuật giải nhanh: Đặt ẩn nhỏ nhất, lập phương trình tổng độ dài đoạn, tìm giá trị từng đoạn.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu phân giác đi qua trung điểm$BC$, tam giác$ABC$cân tại$A$.

- Nếu$AB = AC$, mọi phân giác trong của tam giác đều chia cạnh đối diện thành hai đoạn bằng nhau.

- Đường phân giác góc ngoài: Phân giác ngoài cũng có tỉ số tương tự; song phải xác định đúng vị trí các đoạn thẳng.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa phân giác và trung tuyến, trung trực, đường cao.

- Phân biệt: Phân giác chia góc, trung tuyến chia cạnh, đường cao vuông góc với cạnh.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên điều kiện áp dụng (vẽ đúng phân giác chưa?)

- Đảo vị trí tỉ số sai thứ tự (nhớ thứ tự các đoạn và cạnh tương ứng).

Cách kiểm tra: Thay số kiểm tra tổng các đoạn và đối chiếu tỉ lệ.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập kho 42.226+ bài tập Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay để theo dõi tiến độ, ghi nhớ lâu hơn và cải thiện kỹ năng giải toán!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Đường phân giác chia góc thành hai phần bằng nhau và chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.

- Công thức:$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$(phân giác trong). Áp dụng đúng điều kiện.

- Checklist: Vẽ hình – xác định phân giác – xác định đúng tỉ lệ – áp dụng công thức – kiểm tra kết quả.

Kế hoạch ôn tập: Ôn lại lý thuyết, làm các ví dụ mẫu, luyện tập thường xuyên với kho bài tập miễn phí để thuộc và vận dụng linh hoạt.