Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác – Lý thuyết và ứng dụng chi tiết (Toán 8)

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán học lớp 8, bài "Tính chất đường phân giác của tam giác" là một kiến thức trọng tâm thuộc phần Hình học. Đây là bài học giúp các em hiểu rõ hơn về các mối quan hệ trong tam giác, từ đó hỗ trợ tốt cho các bài toán chứng minh hình học, tính toán về độ dài đoạn thẳng, tỷ số và nhiều ứng dụng thực tế khác.

Việc nắm vững tính chất đường phân giác không chỉ giúp học tốt môn Toán, mà còn rèn luyện tư duy logic – kỹ năng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và đời sống. Đây còn là nền tảng để học sinh giải quyết những bài toán về tỉ lệ, chứng minh tương đương và các bài tập thi học sinh giỏi.

Để các em luyện tập và củng cố, hiện có hơn 42.226+ bài tập Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác miễn phí, phù hợp để vừa học vừa thử sức ngay tại nhà!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Trong tam giác$ABC$, đường thẳng$AD$là đường phân giác của góc$A$nếu$D$nằm trên cạnh$BC$và $\widehat{BAD} = \widehat{DAC}$.
• Đường phân giác chia góc thành hai phần bằng nhau.
• Các định lý và tính chất chính: Khi đường phân giác gốc$A$cắt cạnh$BC$tại$D$, ta có định lý đường phân giác như sau:

Định lý: "Trong tam giác, đường phân giác một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề góc đó":

Nếu$AD$là đường phân giác trong tam giác$ABC$,$D \in BC$thì:$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.$

• Điều kiện áp dụng:$AD$phải là đường phân giác của góc$A$(nghĩa là chia đôi góc$A$),$D$nằm trên$BC$, và $AB$,$AC \neq 0$.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức cơ bản cần nhớ:
-$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$
• Ghi nhớ nhanh:
- Hãy nhớ “phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề”.
• Điều kiện áp dụng:
- Áp dụng khi xác định đúng đường phân giác và hai đoạn thẳng trên cạnh đối diện.
• Biến thể:
- Đối với phân giác ngoài:$\frac{BD}{DC} = -\frac{AB}{AC}$.
- Khi biết độ dài hai đoạn trên cạnh và cần tìm một cạnh hoặc ngược lại.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho tam giác$ABC$, biết$AB = 6\,cm$,$AC = 8\,cm$, đường phân giác$AD$cắt$BC$tại$D$. Biết$BD = 4.5\,cm$. Tính$DC$.

Bước 1: Áp dụng định lý phân giác:$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$
Bước 2: Thay số vào:$\frac{4.5}{DC} = \frac{6}{8}$
Bước 3: Giải phương trình:
$4.5 \times 8 = 6 \times DC \implies 36 = 6 \times DC \implies DC = 6\,cm.$

Lưu ý: Khi thay số, cần kiểm tra các giá trị cạnh đã phù hợp và đúng vai trò vị trí tam giác.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho tam giác$ABC$có $AB = 5\,cm$,$AC = 7\,cm$,$BC = 10\,cm$. Đường phân giác$AD$cắt$BC$tại$D$. Tính độ dài$BD$và $DC$.

Đặt$BD = x$,$DC = y$,$x + y = 10$.
Theo tính chất phân giác:$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{7}$
Vậy:
$\frac{x}{y} = \frac{5}{7} \implies 7x = 5y \implies y = \frac{7x}{5}$
Thay$y$vào tổng:
$x + \frac{7x}{5} = 10 \implies \frac{12x}{5} = 10 \implies x = \frac{50}{12} \approx 4.17\,cm$
$y = 10 - x \approx 5.83\,cm$

Kỹ thuật giải nhanh: Sử dụng kĩ năng đặt ẩn, chuyển đổi tỉ lệ nhanh và sử dụng tổng độ dài cạnh.

4. Các trường hợp đặc biệt

Khi phân giác đi qua các vị trí đặc biệt như trung điểm, hoặc phân giác ngoài, tỉ lệ có thể âm hoặc giá trị đoạn thẳng bằng nhau (tam giác cân). Biết liên hệ với các khái niệm như tia phân giác ngoài, trung tuyến, đường cao để tránh nhầm lẫn khi giải toán.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa đường phân giác với đường cao, trung tuyến.
- Nhớ sai vị trí tỉ số tỉ lệ (thường ngược hoặc nhầm cạnh kề).
- Phân biệt: Đường phân giác chia góc và cạnh đối diện theo tỉ lệ cạnh kề.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai khi giải phương trình tỉ lệ.
- Chưa kiểm tra tổng độ dài đoạn thẳng có khớp với cạnh tam giác chưa.
- Hãy thử kiểm tra lại kết quả bằng cách thay lại vào công thức tỉ lệ.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập ngay kho 42.226+ bài tập Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác miễn phí.
- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập trực tuyến ngay lập tức!
- Theo dõi, lưu lại kết quả và tiến độ học tập để nâng cao hiệu quả học Toán hình lớp 8.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.
- Công thức quan trọng:$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.
- Khi giải toán, cần xác định đúng vị trí các đoạn và sử dụng công thức chính xác.
- Ôn tập – Bấm vào luyện tập miễn phí để nắm chắc kiến thức!

• Checklist ôn tập:
• ☑ Hiểu định nghĩa đường phân giác trong tam giác
• ☑ Thuộc công thức tính tỉ lệ đoạn thẳng
• ☑ Biết cách phân biệt đường phân giác, trung tuyến, đường cao
• ☑ Luyện giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao