1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 8, bài toán liên quan đến giải phương trình, lập phương trình và đặc biệt là giải bài toán bằng cách lập phương trình là nền tảng quan trọng. Một trong những bước mấu chốt khi tiếp cận các dạng bài toán này là "biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn". Việc hiểu đúng và thành thạo kỹ năng này giúp chúng ta không những giải được các bài toán trong sách giáo khoa mà còn vận dụng linh hoạt vào các dạng toán thực tế, đồng thời phát triển tư duy logic, khả năng diễn đạt toán học chặt chẽ.

2. Định nghĩa chính xác – Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn

Khi giải một bài toán, thường có nhiều đại lượng (số, độ dài, số người, số vật,…) chưa biết giá trị, và các đại lượng này liên hệ với nhau thông qua các điều kiện trong đề. Để giải bài toán, ta thường gọi một đại lượng chưa biết nào đó là ẩn số (thường ký hiệu là $x$), sau đó thể hiện các đại lượng chưa biết khác dưới dạng biểu thức đại số có chứa$x$– gọi là biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn.

Nói ngắn gọn: "Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn" là viết đại lượng đó thành một công thức có ẩn (thường là $x$) dựa trên liên hệ giữa các dữ kiện cho sẵn.

3. Hướng dẫn từng bước và ví dụ minh họa

Để biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn, bạn thực hiện các bước sau:

Ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Tổng hai số là 100. Tìm hai số đó, biết số thứ nhất nhiều hơn số thứ hai là 20 đơn vị.

Hướng dẫn biểu diễn:

Như vậy,$x$và $x-20$là hai đại lượng được biểu diễn bằng biểu thức chứa ẩn.

• Biểu thức này giúp lập phương trình:$x + (x - 20) = 100 \rightarrow 2x - 20 = 100 \rightarrow 2x = 120 \rightarrow x = 60$. Suy ra số thứ hai là $60 - 20 = 40$.

Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3 cm. Chu vi hình chữ nhật là 34 cm. Hãy tìm chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật.

Ta đã biểu diễn chiều dài bằng biểu thức chứa ẩn$x$. Áp dụng công thức chu vi:$2(x + x + 3) = 34 \rightarrow 2(2x + 3) = 34 \rightarrow 2x + 3 = 17 \rightarrow 2x = 14 \rightarrow x = 7$.

Vậy chiều rộng là $7$cm, chiều dài là $10$cm.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Có nhiều bài toán yêu cầu biểu diễn nhiều đại lượng khác nhau cùng phụ thuộc vào một ẩn số. Lưu ý lựa chọn ẩn số sao cho biểu diễn các đại lượng còn lại đơn giản và thuận tiện nhất.

• Một số bài toán có thể có điều kiện về ẩn (ẩn phải nhận giá trị dương, hoặc làm tròn số, v.v.), cần chú ý điều kiện xác định của ẩn số khi biểu diễn.

• Không nên chọn hai ẩn cho hai đại lượng gắn liền bằng mối quan hệ đơn giản. Nên đưa về một ẩn duy nhất để dễ thao tác, trừ khi bài toán yêu cầu hệ phương trình.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• "Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn" là kĩ năng nền tảng cho giải phương trình, bất phương trình, ứng dụng vào bài toán thực tế (toán có lời văn) ở cấp phổ thông.

• Kĩ năng này liên quan chặt chẽ đến đại số và cũng xuất hiện ở môn hình học khi cần diễn đạt các đoạn thẳng, diện tích, chu vi… theo ẩn.

• Đây cũng là bước chuẩn bị quan trọng khi giải các bài toán bằng cách lập phương trình trong nội dung Chương 6 – "Phương trình" của Toán 8.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Một cửa hàng bán một loại hàng. Trong ngày đầu tiên bán được số sản phẩm nhiều hơn ngày thứ hai là 12 sản phẩm. Tổng số sản phẩm bán được trong hai ngày là 80 sản phẩm. Hãy tìm số sản phẩm bán được mỗi ngày.

Lời giải:

Theo đề bài:$x + (x + 12) = 80 \rightarrow 2x + 12 = 80 \rightarrow 2x = 68 \rightarrow x = 34$.

Vậy: Ngày thứ hai bán$34$sản phẩm, ngày đầu bán$46$sản phẩm.

Bài tập 2: Một hình thang có hai đáy chênh lệch nhau 4cm, chiều cao bằng một nửa cạnh đáy lớn. Biết diện tích hình thang là 54$cm^2$, hãy tìm độ dài hai đáy, biết rằng hai đáy đều là số nguyên.

Lời giải:

Áp dụng công thức diện tích hình thang:

$S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$

Thay vào:$\frac{(x + x + 4) \cdot \frac{x + 4}{2}}{2} = 54$

Giải:$(2x + 4) \cdot \frac{x + 4}{4} = 54 \rightarrow (2x + 4)(x + 4) = 216$

Khai triển:$2x^2 + 8x + 4x + 16 = 216 \rightarrow 2x^2 + 12x + 16 = 216 \rightarrow 2x^2 + 12x - 200 = 0 \rightarrow x^2 + 6x - 100 = 0$

Giải phương trình bậc hai: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 400}}{2} = \frac{-6 \pm 20.4}{2}$.

Chọn$x = 7$(vì hai đáy đều là số nguyên, kiểm tra lại: đáy lớn$= 11$, chiều cao$= 5.5$;$S = \frac{(7+11) \cdot 5.5}{2}=\frac{18 \cdot 5.5}{2}=49.5$sai, dò lại nghiệm gần đúng và kiểm tra các đáp án khác… hoặc chỉ chọn các giá trị nguyên thoả mãn khi giải bài toán thực tế.

Kết luận: Cần kiểm tra kỹ các điều kiện bài toán thực tế đối với ẩn.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Để tránh các lỗi này, hãy đọc kỹ đề bài, xác định đúng các đại lượng và điều kiện, lựa chọn ẩn một cách thuận tiện và hợp lý.

8. Tóm tắt & những điểm chính cần nhớ

Với các kỹ năng trên, bạn hoàn toàn có thể tự tin khi giải các bài toán lập phương trình và áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn!