Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác – Toàn tập lý thuyết, ví dụ và bài tập miễn phí lớp 8

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 8, "Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác" là một chủ đề trọng tâm thuộc phần Hình học. Đây là kiến thức then chốt dùng để chứng minh sự đồng dạng giữa các tam giác, từ đó giúp giải quyết nhiều dạng bài toán thực tế cũng như các bài toán nâng cao. Việc nắm vững khái niệm này sẽ giúp bạn chứng minh các mối quan hệ tỷ lệ trong hình học, tính toán các đoạn thẳng, diện tích, hoặc ứng dụng đo đạc thực tế như xác định chiều cao vật thể qua bóng của nó. Ngoài ra, bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập các trường hợp đồng dạng của hai tam giác để nắm chắc kiến thức.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau nếu các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.

Ký hiệu: Nếu\triangle ABC \sim \triangle DEF$thì các góc tương ứng bằng nhau:$\widehat{A} = \widehat{D}$,$\widehat{B} = \widehat{E}$,$\widehat{C} = \widehat{F}$và$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD}" data-math-type="inline"> undefined .

Các định lý và tính chất chính:

• Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ nhau.
• Nếu hai tam giác có ba góc tương ứng lần lượt bằng nhau thì chúng đồng dạng.
• Nếu hai tam giác có hai góc tương ứng lần lượt bằng nhau thì chúng đồng dạng (góc thứ ba sẽ tự động bằng do tổng góc tam giác là $180^\circ$).
• Tỉ số các đoạn thẳng ứng với các cạnh tương ứng gọi là tỉ số đồng dạng.

Điều kiện áp dụng: Các định lý chỉ được dùng khi hai tam giác có các góc, cạnh theo đúng điều kiện của từng trường hợp đồng dạng (nêu dưới đây).

2.2 Công thức và quy tắc

Có 3 trường hợp chính để hai tam giác được đồng dạng:

• Trường hợp góc - góc (G-G): Hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. $\triangle ABC \sim \triangle DEF \iff \widehat{A} = \widehat{D}, \widehat{B} = \widehat{E}$
• Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (C-C-C): Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ thì đồng dạng.$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD}$
• Trường hợp cạnh - góc - cạnh (C-G-C): Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và góc xen giữa hai cạnh đó bằng nhau thì đồng dạng.
  \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\; \text{và} \; \widehat{A} = \widehat{D}

Cách ghi nhớ: Học theo cụm từ (G-G), (C-C-C), (C-G-C) hoặc sử dụng sơ đồ, bảng tóm tắt đều rất hiệu quả.

Điều kiện áp dụng:

• Chỉ sử dụng khi nhận biết rõ các yếu tố (góc, cạnh) theo từng trường hợp.
• Không thể kết luận đồng dạng nếu thiếu hoặc nhầm vị trí góc/cạnh.

Các biến thể: Một số bài có thể yêu cầu chứng minh hai tam giác đồng dạng rồi suy ra tỉ lệ các đoạn thẳng khác, hoặc ứng dụng tính độ dài đoạn thẳng, diện tích tam giác.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho $\triangle ABC$và $\triangle DEF$có $\widehat{A} = \widehat{D} = 60^\circ$, $\widehat{B} = \widehat{E} = 80^\circ$. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Giải chi tiết:

• Hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau:$\widehat{A} = \widehat{D}$;$\widehat{B} = \widehat{E}$.
• Theo trường hợp (G-G), hai tam giác đồng dạng: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Lưu ý: Chỉ cần hai góc tương ứng bằng nhau là đủ điều kiện trường hợp góc-góc.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho $\triangle ABC$có $AB=6\ \, cm$, $AC=8\ \, cm$, $\widehat{A}=50^\circ$. Tam giác $DEF$có $DE=9\ \, cm$, $DF=12\ \, cm$, $\widehat{D}=50^\circ$. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ và tính tỉ số đồng dạng.

Giải chi tiết:

• Ta có:$\widehat{A} = \widehat{D}$,$\frac{AB}{DE} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$,$\frac{AC}{DF} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
• Hai tam giác có hai cặp cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau nên đồng dạng theo (C-G-C).
• Tỉ số đồng dạng là $\frac{2}{3}$.

$\widehat{A}=\widehat{D},\,\widehat{B}=\widehat{E}$ giữa $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ ), C-C-C (tỉ lệ ba cặp cạnh $AB/DE=BC/EF=CA" title="Hình minh họa: Minh họa ba trường hợp đồng dạng tam giác: G-G (hai góc tương ứng$ \widehat{A}=\widehat{D},\,\widehat{B}=\widehat{E} $giữa$ \triangle ABC $và$ \triangle DEF $), C-C-C (tỉ lệ ba cặp cạnh$ AB/DE=BC/EF=CA" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Kỹ thuật giải nhanh: Xác định rõ vị trí góc xen giữa hai cạnh đã biết để không nhầm lẫn.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn tương ứng bằng nhau thì chúng đồng dạng (trường hợp đặc biệt của G-G).
- Nếu hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ mà không ở đúng thứ tự, phải xác định lại các cạnh, góc ứng nhau đúng trước khi kết luận đồng dạng.
- Các tam giác có một cặp góc vuông, hoặc các trường hợp trong hình học thực tế như bóng vật, tam giác đồng dạng mở rộng sang tỷ lệ đồng dạng ở hình không gian.

Mối liên hệ: Kiến thức về đồng dạng hỗ trợ cho bài toán diện tích, chứng minh tỉ số đoạn thẳng (định lý Ta-lét), giải toán thực tế...

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm đồng dạng và bằng nhau: Tam giác đồng dạng chỉ cần các góc bằng nhau, tỉ số các cạnh bằng nhau chứ không cần tam giác có cùng kích thước.
• Nhầm điều kiện áp dụng các trường hợp (G-G), (C-C-C), (C-G-C).
• Cách ghi nhớ: Vẽ sơ đồ minh họa để phân biệt các trường hợp nhanh chóng.

5.2 Lỗi về tính toán

• Sắp xếp sai các cặp cạnh tương ứng khi tính tỉ số.
• Tính nhầm tỉ số dẫn tới kết luận sai.
• Nên kiểm tra lại kết quả bằng cách gán lại tỉ số các cạnh và các góc.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay bộ 42.226+ bài tập các trường hợp đồng dạng của hai tam giác miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức để nâng cao kỹ năng! Theo dõi tiến độ, xem giải chi tiết và so sánh kết quả với bạn bè.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Biết 3 trường hợp đồng dạng: G-G, C-C-C, C-G-C.
• Ghi nhớ đặc điểm từng trường hợp, minh họa bằng ví dụ đơn giản.
• Kiểm tra kỹ các điều kiện trước khi áp dụng công thức hoặc kết luận.
• Luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau để tăng độ tự tin.

Checklist trước khi làm bài:

• Đã xác định đúng các yếu tố tương ứng (góc, cạnh)?
• Áp dụng đúng trường hợp đồng dạng?
• Có kiểm tra lại tỉ số các cạnh?

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Lý thuyết – Ví dụ mẫu – Luyện bài tập – Tự kiểm tra kết quả và hỏi thầy/cô nếu chưa hiểu.