Blog

Lớp 8

Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông – Học sinh lớp 8 cần nắm vững gì?

T
Tác giả
•
•9 phút đọc
Chia sẻ:
10 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

“Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông” là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 phần Hình học. Bài học này giúp học sinh nhận biết và chứng minh hai tam giác vuông có đồng dạng với nhau hay không dựa trên các điều kiện cụ thể. Việc hiểu rõ kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều dạng bài tập hình học, phục vụ cho các kỳ kiểm tra, thi học kỳ, đồng thời ứng dụng thực tế trong cuộc sống như đo đạc, dựng hình, tính toán kích thước mà không cần đo lường trực tiếp. Ngoài ra, việc luyện tập kiến thức này thường xuyên với hơn 42.226+ bài tập sẽ giúp bạn thành thạo và tự tin hơn với chuyên đề này.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hai tam giác vuông đồng dạng là hai tam giác vuông có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.

Hình minh họa: Minh họa hai tam giác vuông đồng dạng ΔABC (các cạnh 3, 4, 5) và ΔDEF (các cạnh 6, 8, 10) với góc tương ứng α = 53,13° và hệ số tỉ lệ k = 2
Minh họa hai tam giác vuông đồng dạng ΔABC (các cạnh 3, 4, 5) và ΔDEF (các cạnh 6, 8, 10) với góc tương ứng α = 53,13° và hệ số tỉ lệ k = 2

- Ba trường hợp đồng dạng chủ yếu của hai tam giác vuông:

1. Cạnh - Góc nhọn - Cạnh (cạnh huyền - góc nhọn - cạnh góc vuông): Hai tam giác vuông đồng dạng nếu chúng có một góc nhọn bằng nhau và hai cạnh kề góc đó tỉ lệ.

Hình minh họa: Minh họa hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có ∠A = ∠A' = 60°; các cạnh kề góc AC = 4, AB = 8 và A'C' = 6, A'B' = 12 tỉ lệ, chứng tỏ hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh–góc nhọn–cạnh (cạnh huyền
Minh họa hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có ∠A = ∠A' = 60°; các cạnh kề góc AC = 4, AB = 8 và A'C' = 6, A'B' = 12 tỉ lệ, chứng tỏ hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh–góc nhọn–cạnh (cạnh huyền

2. Góc - Góc: Hai tam giác vuông đồng dạng nếu chúng có một góc nhọn của tam giác này bằng một góc nhọn của tam giác kia.

Hình minh họa: Minh họa hai tam giác vuông ABC (AB = √3, AC = 1) và A'B'C' (A'B' = 2√3, A'C' = 2) với góc nhọn ∠B = ∠B' = 30°, theo tiêu chí đồng dạng góc - góc
Minh họa hai tam giác vuông ABC (AB = √3, AC = 1) và A'B'C' (A'B' = 2√3, A'C' = 2) với góc nhọn ∠B = ∠B' = 30°, theo tiêu chí đồng dạng góc - góc

3. Cạnh - Cạnh - Cạnh (cạnh huyền - cạnh góc vuông): Hai tam giác vuông đồng dạng nếu tỉ số giữa hai cạnh huyền bằng tỉ số giữa hai cạnh góc vuông tương ứng.

Hình minh họa: Minh họa hai tam giác vuông đồng dạng theo Cạnh-Cạnh-Cạnh: tam giác nhỏ ABC có các cạnh góc vuông 3, 4 và cạnh huyền 5; tam giác lớn A'B'C' có các cạnh góc vuông 6, 8 và cạnh huyền 10, với tỉ số 10/5
Minh họa hai tam giác vuông đồng dạng theo Cạnh-Cạnh-Cạnh: tam giác nhỏ ABC có các cạnh góc vuông 3, 4 và cạnh huyền 5; tam giác lớn A'B'C' có các cạnh góc vuông 6, 8 và cạnh huyền 10, với tỉ số 10/5

- Điều kiện áp dụng: Chỉ áp dụng với hai tam giác vuông. Không dùng được với các loại tam giác khác. Đảm bảo xác định đúng các cạnh và các góc tương ứng.

2.2 Công thức và quy tắc

- Những công thức cần nhớ:

+ Với hai tam giác vuôngABCABCvà A′B′C′A'B'C'(góc vuông ở AAvà A′A'):

  • △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \Leftrightarrow \angle B = \angle B'vaˋvà\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}△ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \Leftrightarrow \angle B = \angle B'" data-math-type="inline"> (trường hợp cạnh - góc - cạnh)<!--LATEX_PROCESSED_1756450005230--></li><li><span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">△</mi><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>∼</mo><mi mathvariant="normal">△</mi><msup><mi>A</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup><msup><mi>B</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup><msup><mi>C</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\triangle ABC \sim \triangle A&#x27;B&#x27;C&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord">△</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">BC</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∼</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9463em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord">△</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">A</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05017em;">B</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> \Leftrightarrow \angle B = \angle B'
  • △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \Leftrightarrow \angle B = \angle B'$ (trường hợp góc - góc)
  • △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \Leftrightarrow \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}$ (trường hợp cạnh - cạnh - cạnh)

    • - Cách ghi nhớ:

  • Chỉ cần nhớ: Với tam giác vuông, chỉ cần một góc nhọn bằng nhau hoặc hai cạnh tỉ lệ là đủ!

    • - Biến thể công thức: Thường được đảo lại thứ tự các cạnh tùy theo đề bài hoặc hình vẽ.

    3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Cho hai tam giác vuôngABCABC(vuông tạiAA),DEFDEF(vuông tạiDD), biết∠B=∠E\angle B = \angle E. Chứng minh rằng hai tam giác đó đồng dạng.

  • Giải:
  • Hai tam giácABCABCvà DEFDEF đều vuông (gócAAvà gócDDcùng là góc vuông). Ngoài ra,∠B=∠E\angle B = \angle E. Mỗi tam giác đều có tổng ba góc bằng180∘180^\circ, nên∠C=90∘−∠B\angle C = 90^\circ - \angle Bvà ∠F=90∘−∠E\angle F = 90^\circ - \angle E. Vì ∠B=∠E\angle B = \angle Enên∠C=∠F\angle C = \angle F.
  • Như vậy, hai tam giác có ba góc tương ứng bằng nhau nên đồng dạng theo trường hợp góc - góc (AA).

    • 3.2 Ví dụ nâng cao

    Hình minh họa: Minh họa tam giác ABC vuông tại A với AB = 6 cm, AC = 8 cm; đường cao AH hạ từ đỉnh vuông A xuống cạnh BC, điểm H là hình chiếu của A trên BC và độ dài AH = 4.8 cm, đồng thời tô màu hai tam giác ABH &
    Minh họa tam giác ABC vuông tại A với AB = 6 cm, AC = 8 cm; đường cao AH hạ từ đỉnh vuông A xuống cạnh BC, điểm H là hình chiếu của A trên BC và độ dài AH = 4.8 cm, đồng thời tô màu hai tam giác ABH &

    Cho tam giácABCABCvuông tạiAA, có AB=6AB = 6cm,AC=8AC = 8cm. Vẽ đường caoAHAH(HHthuộcBCBC). Chứng minh tam giácABHABH đồng dạng với tam giácCAHCAHvà tính độ dàiAHAH.

  • Giải:
  • △ABH\triangle ABHvà △CAH\triangle CAHcùng vuông tạiHH.
  • ∠BAH=∠CAH\angle BAH = \angle CAH(hai góc này đối đỉnh)
  • Vậy △ABH∼△CAH\triangle ABH \sim \triangle CAH (theo trường hợp góc - góc).
  • Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:AB×AC=AH×BCAB \times AC = AH \times BC.
  • Tính BC=AB2+AC2=62+82=10BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10cm. Suy ra 6×8=AH×10⇒AH=4.86 \times 8 = AH \times 10 \Rightarrow AH = 4.8cm.
  • Lưu ý: Trong bài toán này cần vận dụng linh hoạt định lý Pitago và lý thuyết đồng dạng.

    • 4. Các trường hợp đặc biệt

    - Nếu hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tỉ lệ hoặc hai cạnh kề góc nhọn tỉ lệ, cũng có thể chứng minh đồng dạng.

    - Trong một số bài toán, các góc hoặc các cạnh có thể chưa được đặt tên rõ ràng, bạn cần quan sát kỹ hình vẽ để nhận biết.

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • - Nhầm giữa điều kiện đồng dạng tam giác thường với tam giác vuông.
  • - Lẫn lộn các cạnh tương ứng hoặc các góc tương ứng.
  • - Cách tránh: Luôn lập bảng so sánh các cạnh và góc, vẽ hình rõ ràng và ký hiệu cẩn thận.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • - Tính sai tỉ số hoặc nhầm lẫn các cạnh.
  • - Bỏ qua điều kiện vuông góc khi áp dụng đồng dạng.
  • - Cách tránh: Kiểm tra lại giải thích và các phép tính, ghi rõ các bước ra nháp.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập ngay kho 42.226+ bài tập Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay! Theo dõi tiến độ, kiểm tra kết quả tự động và rèn luyện kỹ năng giải Toán lớp 8 hiệu quả nhất.

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • - Ba trường hợp đồng dạng tam giác vuông: Cạnh - Góc - Cạnh; Góc - Góc; Cạnh - Cạnh - Cạnh.
  • - Luôn chú ý đối chiếu các cạnh, các góc tương ứng.
  • - Luyện tập nhiều để phân biệt chính xác các trường hợp.
  • - Trước khi làm bài: ghi chú các định nghĩa, điều kiện, công thức và ví dụ mẫu để ôn tập.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".