1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng

Đồng dạng là một khái niệm then chốt trong hình học, giúp chúng ta hiểu và giải quyết nhiều dạng bài toán liên quan đến tỷ lệ, tam giác, đường cao, đường trung tuyến,... Đặc biệt, ở lớp 8, việc nhận diện và vận dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông là một kỹ năng nền tảng giúp phát triển tư duy logic và lập luận chặt chẽ. Các bài toán thuộc Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông thường xuất hiện trong kiểm tra, đề thi và thực tế ứng dụng hình học.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Các bài toán này thường yêu cầu xác định hai tam giác vuông có đồng dạng với nhau không, hoặc sử dụng tính đồng dạng để giải quyết những bài toán về đo lường, chứng minh tỷ số các đoạn thẳng, tính toán các yếu tố trong tam giác vuông,... Đặc thù của nó là luôn tập trung vào các tam giác có một góc vuông và các yếu tố liên quan đến các cạnh (cạnh góc vuông, cạnh huyền) và góc của tam giác. Để làm tốt dạng này, học sinh cần nắm vững các trường hợp đồng dạng đặc biệt dành riêng cho tam giác vuông.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để "cách giải bài toán Bài 3. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông" hiệu quả, hãy tuân thủ chiến lược tổng thể sau:

• Xác định rõ hai tam giác vuông cần xét đồng dạng (tên, vị trí, các yếu tố liên quan).
• Phân tích các yếu tố đề cho: các cạnh, góc của tam giác.
• Lựa chọn trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông phù hợp (cạnh-góc, cạnh-cạnh, góc-góc).
• Viết ra các điều kiện cụ thể cho từng trường hợp.
• Lập luận và trình bày rõ ràng theo từng bước, kết luận đồng dạng hoặc sử dụng đồng dạng để tìm ẩn số.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Để dễ hiểu, ta sẽ lấy ví dụ cụ thể và phân tích từng bước.

Ví dụ 1:

Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$và tam giác vuông$DEF$tại$D$. Biết:$AB = DE$,$AC = DF$. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

1. Bước 1: Xác định hai tam giác vuông$ABC$tại$A$,$DEF$tại$D$.
2. Bước 2: So sánh yếu tố đề cho:$AB = DE$(cạnh góc vuông),$AC = DF$(cạnh góc vuông còn lại).
3. Bước 3: Gọi ra trường hợp đồng dạng: Hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau.
4. Bước 4: Kết luận: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$(trường hợp cạnh-góc vuông-cạnh góc vuông) vì $AB = DE$, $AC = DF$.

Ví dụ 2:

Cho tam giác vuông$MNP$tại$N$, tam giác vuông$QRS$tại$R$. Biết:$\angle M = \angle Q$. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

1. Bước 1: Dẫn ra đảo luận của trường hợp: Hai tam giác vuông có một góc nhọn tương ứng bằng nhau thì đồng dạng.
2. Bước 2: Hình thành các cặp góc tương ứng:$\angle MNP = \angle QRS = 90^\circ$,$\angle M = \angle Q$.
3. Bước 3: Kết luận $\triangle MNP \sim \triangle QRS$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Ba trường hợp đồng dạng riêng cho hai tam giác vuông:
• + Trường hợp 1 (Góc-Góc): Hai tam giác vuông có một góc nhọn của tam giác này bằng một góc nhọn của tam giác kia thì đồng dạng.
• + Trường hợp 2 (Cạnh-Góc): Hai tam giác vuông có một cạnh góc vuông và một góc nhọn tương ứng bằng nhau thì đồng dạng.
• + Trường hợp 3 (Cạnh-Cạnh): Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau thì đồng dạng.
• Các hệ thức trong tam giác vuông:
• $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}$nếu$\triangle ABC \sim \triangle DEF$.
• Nếu biết tỉ số đồng dạng$k$, mọi đoạn thẳng tương ứng đều thoả $\frac{M1}{M2} = k$.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số dạng biến thể thường gặp:

• - Đề cho hai tam giác vuông cùng có một yếu tố như cạnh góc vuông hoặc góc nhọn, yêu cầu chứng minh đồng dạng.
• - Đề cho một tam giác vuông lớn, vẽ thêm tia, đường cao tạo ra hai tam giác vuông nhỏ bên trong và phải tìm các yếu tố liên quan.
• - Bài tập vận dụng tỷ số đồng dạng để tính độ dài cạnh.

Chiến lược: Luôn quan sát kỹ xem bài toán thuộc dạng nào bên trên, đối chiếu yếu tố đề bài với ba trường hợp đồng dạng cho tam giác vuông, sau đó lựa chọn cách giải phù hợp.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Cho tam giác vuông $ABC$tại$A$. Vẽ đường cao $AH$ ($H \in BC$). Chứng minh: $\triangle ABH \sim \triangle HAC$.

1. Bước 1: Xét hai tam giác vuông$ABH$(tại$H$),$HAC$(tại$H$).
2. Bước 2: Xét góc$\angle ABH$và $\angle HAC$:
3. Do$AH$là đường cao,$\angle ABH$và $\angle HAC$là hai góc nhọn tại$B$và $C$, đồng thời góc$A$chung.
4. Ta có:$\triangle ABH$và $\triangle HAC$ đều vuông tại$H$, và $\angle BAH = \angle HAC$(cùng bằng$\angle BAC$của tam giác$ABC$).
5. Theo trường hợp hai tam giác vuông có một góc nhọn tương ứng, suy ra $\triangle ABH \sim \triangle HAC$.

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

a) Cho $\triangle ABC$vuông tại$A$, $AB = 6$cm,$AC = 8$cm. Trên$BC$lấy điểm$M$sao cho$AM \perp BC$. Chứng minh $\triangle ABM \sim \triangle MAC$.

b) Cho $\triangle DEF$vuông tại$D$, $DE = 9$cm,$DF = 12$cm. Lấy điểm$K$trên$EF$sao cho$DK \perp EF$. Chứng minh $\triangle DEK \sim \triangle DFK$.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• - Luôn kiểm tra kỹ điều kiện đồng dạng trước khi kết luận.
• - Không nhầm lẫn giữa cạnh góc vuông và cạnh huyền.
• - Vẽ hình rõ ràng, đặt tên các cạnh, góc cẩn thận.
• - Sử dụng đúng trường hợp đồng dạng dành riêng cho tam giác vuông.
• - Trình bày lập luận theo từng bước, tránh bỏ qua các bước lý luận quan trọng.

Việc nắm vững cách giải bài toán Bài 3. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông là chìa khóa để thành thạo chương Hình học đồng dạng của lớp 8, giúp các em tự tin xử lý các dạng toán hình học từ cơ bản đến nâng cao.