1. Giới thiệu về dạng toán Hình thang – Hình thang cân

Hình thang, đặc biệt là hình thang cân, là một trong các loại tứ giác phổ biến xuất hiện nhiều trong chương trình toán lớp 8. Dạng toán "Bài 3: Hình thang - Hình thang cân" không chỉ là nội dung trọng tâm mà còn giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích, tư duy logic, liên hệ với các kiến thức hình học như định lý và tính chất các tứ giác. Việc thành thạo dạng toán này sẽ tạo nền tảng vững chắc để giải quyết các bài toán khó hơn sau này.

2. Phân tích đặc điểm của dạng toán Hình thang - Hình thang cân

- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là đáy; hai cạnh còn lại là cạnh bên.

- Hình thang cân là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau, đồng thời hai góc kề một đáy cũng bằng nhau.

Các dạng bài toán thường gặp:

+ Nhận diện hình thang, kiểm tra hình thang cân
+ Tính độ dài các cạnh, đường cao, diện tích
+ Chứng minh các tính chất đặc trưng của hình thang và hình thang cân
+ Ứng dụng định lý Pitago hoặc các định lý về tam giác, tứ giác để giải quyết bài toán

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán Hình thang - Hình thang cân

Để giải hiệu quả các bài toán liên quan đến hình thang (đặc biệt là hình thang cân), học sinh nên tuần tự thực hiện các bước sau:

• Đọc kỹ đề bài, xác định đề hỏi về đặc điểm, yêu cầu tính toán hay chứng minh.
• Vẽ hình chính xác, ký hiệu đầy đủ các yếu tố: cạnh, góc, đường cao,...
• Ghi nhớ tính chất quan trọng của hình thang (đặc biệt là hình thang cân)
• Phân tích dữ kiện đã cho, xác định ẩn số cần tìm
• Áp dụng công thức tính hoặc định lý phù hợp
  

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình thang cân$ABCD$($AB // CD$,$AD = BC$), biết$AB = 8$cm,$CD = 14$cm, chiều cao$h = 6$cm. Tính diện tích hình thang$ABCD$.

Bước 1: Vẽ hình và đặt tên các yếu tố đã biết.

Bước 2: Xác định công thức cần áp dụng.

Công thức diện tích hình thang:

$S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$

với$a, b$là hai đáy,$h$là chiều cao.

Bước 3: Thay số và tính toán.

$S = \frac{(8 + 14) \cdot 6}{2} = \frac{22 \cdot 6}{2} = \frac{132}{2} = 66\ \text{cm}^2$

Vậy diện tích hình thang$ABCD$là $66\ \text{cm}^2$.

Ví dụ 2: Chứng minh tứ giác$MNPQ$là hình thang cân biết$MN // PQ$,$MQ = PN$,$\widehat{M} = \widehat{Q}$.

Giải:

-$MNPQ$là hình thang vì $MN // PQ$.

-$MQ = PN$,$\widehat{M} = \widehat{Q}$.

=> Hình thang$MNPQ$là hình thang cân vì cạnh bên bằng nhau và hai góc kề một đáy bằng nhau theo đúng định nghĩa hình thang cân.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Diện tích hình thang:$S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$
• Trong hình thang cân: cạnh bên$AD = BC$,$\widehat{A} = \widehat{B}$,$\widehat{D} = \widehat{C}$
• Đường chéo hình thang cân bằng nhau
• Sử dụng định lý Pythagore trong các tam giác vuông phụ (thường sinh bởi đường cao)

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

Bài toán có thể yêu cầu:
- Tính một yếu tố khi biết các yếu tố còn lại (chẳng hạn tính cạnh bên, đường cao hoặc đáy)
- Chứng minh một hình là hình thang cân
- Xác định vị trí điểm, giao điểm các đường chéo
- So sánh diện tích hoặc chu vi của nhiều hình thang

Lưu ý điều chỉnh:

• Nếu không có chiều cao, có thể dựng hoặc tính toán chiều cao qua cạnh bên và đáy (dùng Pythagore)
• Nếu chứng minh tính chất: tập trung dấu hiệu nhận biết (hai cạnh song song và hai cạnh bên bằng nhau hoặc hai góc kề một đáy bằng nhau)

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết từng bước

Bài tập 1: Cho hình thang cân$ABCD$($AB // CD$),$AB = 12$cm,$CD = 20$cm, cạnh bên$AD = BC = 10$cm. Tính chiều cao hình thang.

Giải

- Gọi$H, K$là hình chiếu vuông góc của$A, B$lên$CD$. Khi đó $HK$là chiều cao$h$,$HK \perp CD$.

- Vì hình thang cân nên:$AH = BK = h$,$DH = CK = x$(hai đoạn nhỏ ở hai bên), ta có $AB = HK = CD - 2x \Rightarrow x = \frac{CD - AB}{2} = \frac{20-12}{2}=4$cm.

- Xét tam giác vuông $ADH$: $AD^2 = AH^2 + DH^2 \Rightarrow 10^2 = h^2 + 4^2 \Rightarrow h^2 = 100-16 = 84 \Rightarrow h = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$cm (hoặc khoảng$9,17$ cm).

Vậy chiều cao hình thang là $2\sqrt{21}$ cm.

8. Bài tập thực hành

Câu 1: Cho hình thang cân$EFGH$($EF // GH$),$EF = 10$cm,$GH = 22$cm, hai cạnh bên đều dài$13$cm. Hãy tính chiều cao và diện tích hình thang.

Câu 2: Cho tứ giác$ABCD, AB // CD, AD = BC, \widehat{A} = \widehat{B}$. Chứng minh$ABCD$là hình thang cân.

Câu 3: Một hình thang cân có độ dài hai đáy là $a, b$($a < b$), hai cạnh bên là $c$. Hãy viết công thức tính chiều cao dạng tổng quát.

Câu 4: Vẽ hình thang cân bất kỳ rồi chỉ ra các yếu tố đặc trưng (song song, bằng nhau, góc bằng nhau, đường chéo)

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán hình thang - hình thang cân

• Vẽ hình cẩn thận, ký hiệu đầy đủ các yếu tố giúp định hướng giải tốt hơn
• Luôn kiểm tra lại các điều kiện của hình thang cân (cạnh bên, góc kề đáy, đường chéo, v.v.)
• Khi không có sẵn đường cao hoặc cạnh bên, nên sử dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông nhỏ
• Nhớ các công thức tổng quát và cách suy luận từ dữ kiện hình học sang tính toán đại số càng trôi chảy càng tốt
• Kiểm tra các bước giải sau cùng để tránh nhầm lẫn đơn vị hoặc ký hiệu