1. Giới thiệu về bài toán cuối chương 3 và tầm quan trọng

Trong chương 3 Toán 8, học sinh sẽ làm quen sâu sắc với Định lý Pythagore cũng như các loại tứ giác thường gặp như hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, và hình thoi. Các bài tập cuối chương 3 thường tổng hợp kiến thức toàn chương, đòi hỏi vận dụng linh hoạt các định lý và làm nền tảng vững chắc cho các chương tiếp theo và trong thực tế cũng như các kỳ kiểm tra, thi cử.

2. Đặc điểm và cấu trúc của bài toán cuối chương 3

Bài toán cuối chương 3 thường có các điểm chung:

• Vận dụng Định lý Pythagore để tính toán độ dài cạnh, đường chéo trong các tứ giác.
• Yêu cầu chứng minh các tính chất của các hình tứ giác dựa trên định nghĩa và định lý đã học.
• Kết hợp giữa đại số và hình học để giải bài toán.
• Dạng toán có thể yêu cầu dựng hình hoặc chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau hoặc chứng minh một tứ giác là hình đặc biệt.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận và cách giải bài toán

Để giải quyết hiệu quả dạng bài này, bạn cần thực hiện các bước sau:

1. Đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu và dữ kiện.
2. Vẽ hình chính xác nếu là bài hình học. Ghi chú rõ ràng các dữ kiện lên hình.
3. Nhẩm xem bài toán thuộc dạng nào: tính độ dài, chứng minh tính chất, dựng hình,...
4. Huy động các công thức, định nghĩa, định lý phù hợp (đặc biệt Định lý Pythagore và các tính chất của tứ giác).
5. Kết hợp suy luận logic và tính toán. Nếu bài toán có nhiều bước, hãy trình bày rõ ràng từng bước.

4. Các bước giải quyết chi tiết kèm ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$có $AB = 6$cm,$AC = 8$cm. Tính cạnh$BC$.

1. Đọc kỹ đề: Ta có tam giác vuông tại$A$, biết$AB$và $AC$.
2. Áp dụng Định lý Pythagore:
3. $BC^2 = AB^2 + AC^2$
4. Thay số:$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
5. $BC = \sqrt{100} = 10cm$

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật$ABCD$,$AB = 5$cm,$BC = 12$cm. Tính độ dài đường chéo$AC$.

1. Hình chữ nhật có các cạnh góc vuông, nên đường chéo$AC$là cạnh huyền của tam giác vuông$ABC$.
2. Áp dụng Định lý Pythagore:
3. $AC^2 = AB^2 + BC^2$
4. $AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
5. $AC = \sqrt{169} = 13\text{cm}$

5. Công thức và kỹ thuật cần ghi nhớ

• Định lý Pythagore: Tam giác vuông có bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông:
  $c^2 = a^2 + b^2$
• Công thức tính đường chéo hình chữ nhật/hình vuông: Nếu cạnh $a$, $b$thì đường chéo$d = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Các tính chất của tứ giác: Đặc điểm nhận biết, quan hệ cạnh, góc, đường chéo của từng loại tứ giác—hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông.
• Cách chứng minh các đoạn thẳng/góc bằng nhau dựa vào các tam giác đồng dạng, tam giác vuông hoặc tính chất hình học.

6. Các biến thể thường gặp và cách điều chỉnh chiến lược giải

- Nếu bài toán yêu cầu chứng minh một hình là hình đặc biệt (ví dụ hình vuông, hình thoi), hãy so sánh các cạnh, góc và đường chéo dùng tính chất hình học và Định lý Pythagore.
- Nếu bài toán cho các cạnh hoặc đường chéo chưa rõ, lập phương trình sử dụng dữ kiện để tìm ra giá trị còn thiếu, rồi áp dụng tiếp các định lý/công thức đã học.
- Với bài toán liên quan tới dựng hình hoặc điền số vào hình, hãy viết lại các giả thiết, vẽ hình minh họa cẩn thận, giữ sơ đồ rõ ràng để tránh nhầm lẫn.
- Các bài toán nâng cao có thể kết hợp cả hệ thức lượng trong tam giác, kiến thức về tam giác đồng dạng bên cạnh các kỹ thuật cơ bản.

7. Bài tập mẫu kèm lời giải chi tiết

Bài tập: Cho hình thang$ABCD$($AB\parallel CD$) có $AB = 10$cm,$CD = 6$cm, hai cạnh bên$AD = BC = 5$cm. Tính chiều cao hình thang.

1. Vẽ hình ABCD, ghi chú số liệu lên hình.
2. Gọi$h$là chiều cao, kẻ $EF\perp AB$($E \in AB, F \in CD, EF = h$).
3. Do$AB\parallel CD$, ta xác định hai tam giác vuông tại$E$và $F$có cạnh huyền$AD = 5$cm, cạnh đáy$AE$là đoạn trên$AB$.
4. Đặt$AE = x$thì $DF = x$(do hai đáy song song và hai cạnh bên bằng nhau).
5. $EB = AB - AE = 10 - x$,$FC = CD - x = 6 - x$.
6. Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông$ADE$:
   $AD^2 = AE^2 + h^2\implies 25 = x^2 + h^2$
7. Tương tự, tam giác$BCF$:
   $BC^2 = FC^2 + h^2\implies 25 = (6 - x)^2 + h^2$
8. Lấy hai phương trình:
   $x^2 + h^2 = (6 - x)^2 + h^2$
   Rút gọn,$x^2 = (6 - x)^2$
   $\implies x^2 = 36 - 12x + x^2$
   $\implies 12x = 36 \implies x = 3$.
9. Thế $x = 3$vào phương trình đầu:
   $h^2 = 25 - 9 = 16\implies h = 4 (cm)$

8. Bài tập tự luyện

• Cho hình vuông cạnh$a = 7$cm. Tính độ dài đường chéo.
• Cho hình thoi có hai đường chéo$d_1 = 12$cm,$d_2 = 16$cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.
• Cho hình bình hành$ABCD$, biết$AB = 8$cm,$AD = 6$cm, đường chéo$AC = 10$cm. Tính góc giữa hai cạnh$AB$và $AD$.
• Một tam giác vuông có cạnh góc vuông lần lượt là 9cm và 12cm. Hãy tính cạnh huyền.

9. Mẹo và lưu ý để tránh những sai lầm phổ biến

• Vẽ hình rõ ràng, đúng số liệu đề cho.
• Luôn kiểm tra lại xem hình học có đủ dữ kiện áp dụng Định lý Pythagore chưa (tam giác phải vuông).
• Tránh nhầm lẫn giữa các công thức của từng loại tứ giác.
• Với bài toán nhiều bước, nên tóm tắt rõ ràng từng ý để tránh bỏ sót dữ kiện.
• Kiểm tra kỹ điều kiện bài toán trước khi kết luận kết quả (chú ý đặc biệt hình học phải vẽ chính xác).