1. Giới thiệu về bài toán hàm số bậc nhất và tầm quan trọng

Bài toán về hàm số bậc nhất là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 8, thuộc phần Đại số và đặc biệt xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra, thi học kỳ cũng như các kỳ thi vào lớp 10. Nắm vững cách giải bài toán hàm số bậc nhất không chỉ giúp học sinh xử lý thành thạo các dạng toán cơ bản mà còn dễ dàng tiếp cận các bài toán phức tạp ở cấp học cao hơn.

2. Đặc điểm của bài toán hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất có dạng tổng quát: $y = ax + b$với$a \neq 0$.

- Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm$(0, b)$và có hệ số góc là $a$(độ dốc của đường thẳng).
- Bài toán hàm số bậc nhất thường xoay quanh các nội dung: xác định hàm số, vẽ đồ thị, tìm giá trị của$x$khi biết$y$(hoặc ngược lại), giải các bài toán liên quan đến yêu cầu đồ thị đi qua điểm cho trước, xét vị trí tương đối các đường thẳng, ứng dụng thực tế.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán hàm số bậc nhất

1. Xác định dạng bài toán (tìm hàm số, vẽ đồ thị, xét tính chất...).
2. Nhận diện các thông tin đã cho, các yêu cầu của đề bài.
3. Áp dụng công thức tổng quát$y = ax + b$cùng các công thức và tính chất liên quan.
4. Sử dụng các bước giải bài toán cụ thể (xem chi tiết ở mục 4).
5. Kiểm tra lại kết quả cả về mặt tính toán và ý nghĩa thực tế.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ta cùng tìm hiểu thông qua các ví dụ thực tế thường gặp trong chương trình Toán 8.

Ví dụ 1: Xác định hàm số bậc nhất biết hai điểm đi qua

Cho hàm số $y = ax + b$. Biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm$A(1;3)$và $B(2;5)$. Hãy xác định công thức của hàm số.

1. Bước 1: Gắn tọa độ các điểm vào công thức$y = ax + b$.
   - Với$A(1;3)$, ta có:$3 = a \cdot 1 + b$.
   - Với$B(2;5)$, ta có:$5 = a \cdot 2 + b$.
2. Bước 2: Giải hệ phương trình
   
   $$\begin{cases} 3 = a + b \\ 5 = 2a + b \\\end{cases}$$
   
   Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên:$5-3 = (2a + b) - (a + b) \rightarrow 2 = a$.
3. Bước 3: Thay$a = 2$vào$3 = a + b$:
   $3 = 2 + b \Rightarrow b = 1$.
4. Bước 4: Kết luận
   Vậy hàm số cần tìm là $y = 2x + 1$.
   

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Cho hàm số $y = -x + 2$. Hãy vẽ đồ thị của hàm số này.

1. Bước 1: Tìm hai điểm thuộc đồ thị (nên chọn$x$dễ tính).
   - Chọn$x = 0$:$y = -0 + 2 = 2$nên có điểm$A(0;2)$.
   - Chọn$x = 2$:$y = -2 + 2 = 0$nên có điểm$B(2;0)$.
2. Bước 2: Vẽ $Oxy$, xác định hai điểm$A(0;2)$và $B(2;0)$.
3. Bước 3: Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm này, ta được đồ thị hàm số cần vẽ.

Ví dụ 3: Tìm giá trị $x$khi biết$y$và ngược lại

Cho hàm số $y = 3x - 4$. Tính giá trị của$x$khi$y = 8$.

1. Bước 1: Thay$y = 8$vào biểu thức:$8 = 3x - 4$.
2. Bước 2: Giải phương trình$3x = 8 + 4 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$.

Hoặc muốn tìm$y$khi biết$x = -2$:
$y = 3 \cdot (-2) - 4 = -6 - 4 = -10$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổng quát:$y = ax + b$(với$a \neq 0$).
• Điểm cắt trục tung:$x = 0 \Rightarrow y = b$.
• Điểm cắt trục hoành:$y = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$.
• Hai đường thẳng$y = a_1x + b_1$và $y = a_2x + b_2$:
  - Song song khi$a_1 = a_2$và $b_1 \neq b_2$.
  - Trùng nhau khi$a_1 = a_2$,$b_1 = b_2$.
  - Cắt nhau tại duy nhất một điểm khi$a_1 \neq a_2$.
• Giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:
  
  $$\begin{cases} y = a_1x + b_1 \\ y = a_2x + b_2 \\\end{cases}$$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Tìm hàm số bậc nhất đi qua 1 điểm và biết hệ số góc: Dùng công thức tổng quát, thay giá trị vào để tìm$b$.
• Bài toán đồ thị hai hàm số song song/cắt nhau: So sánh hệ số góc và tung độ gốc, tìm giao điểm bằng cách lập phương trình.
• Ứng dụng vào thực tế (vận tốc, giá tiền, quãng đường...): Biểu diễn đại lượng bằng hàm số bậc nhất và đặt điều kiện thực tế.
• Bài toán liên quan đến điều kiện xác định, điều kiện nghiệm nguyên, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất: Xét miền giá trị của$x, y$thỏa mãn.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài toán: Tìm công thức hàm số bậc nhất$y = ax + b$biết rằng khi$x = -1$thì $y = 7$; khi$x = 2$thì $y = -2$.

1. Bước 1: Áp dụng công thức tổng quát, thay các giá trị vào biểu thức:
   - Khi$x = -1$,$y = 7$ta có:$7 = a \cdot (-1) + b$.
   - Khi$x = 2$,$y = -2$ta có:$-2 = a \cdot 2 + b$
2. Bước 2: Lập hệ phương trình:
   
   $$\begin{cases} 7 = -a + b \\ -2 = 2a + b \\\end{cases}$$
   
   Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên:
   $-2 - 7 = (2a + b) - (-a + b) \Rightarrow -9 = 3a \Rightarrow a = -3$.
3. Bước 3: Thay$a = -3$vào phương trình đầu tiên:$7 = -(-3) + b \Rightarrow 7 = 3 + b \Rightarrow b = 4$.
4. Kết luận: Vậy hàm số bậc nhất cần tìm là $y = -3x + 4$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

• Bài 1: Viết công thức hàm số bậc nhất biết rằng hàm số đi qua hai điểm$M(0; 1)$và $N(3; 4)$.
• Bài 2: Cho hàm số $y = 2x - 5$. Hãy tính$y$khi$x = -1$và tìm$x$khi$y = 5$.
• Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2}x - 2$trên cùng hệ trục$Oxy$.
• Bài 4: Cho hai đường thẳng$y = x + 1$và $y = -x + 3$. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng này.
• Bài 5: Một mặt hàng có giá bán$y$(nghìn đồng) được xác định bởi công thức$y = 15x + 20$, trong đó $x$là số mặt hàng bán ra. Tìm số lượng mặt hàng$x$để tổng tiền thu được là$155$nghìn đồng.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra lại điều kiện$a \neq 0$ đối với hàm số bậc nhất.
• Cẩn thận khi thay số vào hàm số, chú ý dấu$+$,$-$của từng giá trị.
• Nếu giải hệ phương trình, nên trừ hai phương trình để tránh sai sót khi tính toán.
• Khi vẽ đồ thị nên chọn hai giá trị $x$dễ tính để tìm điểm chính xác.
• Kiểm tra lại kết quả cuối cùng bằng cách thay nghiệm vừa tìm lại vào phương trình gốc xem có thỏa mãn không.