Phân thức đại số là một phần trọng tâm trong chương trình Toán 8, là kiến thức nền tảng mở đường cho Toán học THCS và các lớp cao hơn. Các bài toán sử dụng tính chất cơ bản của phân thức thường gặp trong các bài biến đổi, rút gọn và so sánh phân thức.

Nắm vững cách giải bài toán tính chất cơ bản của phân thức giúp học sinh dễ dàng biến đổi các biểu thức phức tạp, xây dựng nền tảng vững chắc cho giải phương trình, bất phương trình và làm quen với những kiến thức nâng cao trong chương trình học.

Các bài toán về tính chất cơ bản của phân thức thường có dạng:

• Rút gọn phân thức bằng cách áp dụng tính chất cơ bản.
• Chứng minh hai phân thức bằng nhau.
• Thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức.
• Đưa phân thức về dạng đơn giản.

Mục tiêu là biết sử dụng hiệu quả tính chất này để biến đổi phân thức về dạng thuận tiện nhất cho các thao tác tiếp theo.

1. Hiểu vững định nghĩa cũng như các tính chất cơ bản của phân thức.
2. Phân tích bài toán: nhận diện dạng toán và yêu cầu đề bài.
3. Tìm mẫu số chung (nếu cần), phân tích tử và mẫu để áp dụng quy tắc rút gọn.
4. Kiểm tra điều kiện xác định để tránh sai số khi làm toán.
5. Sử dụng các phép biến đổi đồng nhất, quy tắc nhân, chia cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác$0$.
6. Rút gọn kết quả về dạng tối giản và kiểm tra lại các điều kiện ban đầu.

Ví dụ: Rút gọn phân thức$\frac{2x^2y}{4xy^2}$(với$x \neq 0$,$y \neq 0$).

-$2x^2y = 2x \cdot x \cdot y$

-$4xy^2 = 4x \cdot y \cdot y$

Theo tính chất cơ bản: Nếu nhân (hoặc chia) cả tử và mẫu phân thức với cùng một đa thức khác$0$, phân thức không đổi giá trị:

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M},\; (M \neq 0)$

Hoặc chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất:

$\frac{A}{B} = \frac{A: d}{B: d},\; (d \neq 0)$

$\frac{2x^2y}{4xy^2} = \frac{2}{4} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y}{y^2}$

$\quad = \frac{1}{2} \cdot x^{2-1} \cdot y^{1-2} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{2y}$

Vậy,$\frac{2x^2y}{4xy^2} = \frac{x}{2y}$với$x \neq 0,\; y \neq 0$.

Chứng minh:$\frac{x+2}{2x+4} = \frac{1}{2}$, với$x \neq -2$.

Giải:

- Ta có $2x + 4 = 2(x+2)$. Vậy:$\frac{x+2}{2x+4} = \frac{x+2}{2(x+2)} = \frac{1}{2}$với điều kiện$x+2 \neq 0$hay$x \neq -2$.

• Nếu$M \neq 0$, thì:$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M}$
• Nếu$d \neq 0$và $d$là ước chung của cả tử và mẫu, thì:$\frac{A}{B} = \frac{A: d}{B: d}$
• Để rút gọn phân thức: Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử, sau đó chia cả tử và mẫu cho các nhân tử chung (nếu có).
• Điều kiện xác định của phân thức: Mẫu số phải khác$0$.

Các bài toán có thể kết hợp nhiều phân thức, chứa đa thức bậc cao, hoặc yêu cầu tìm điều kiện để hai phân thức bằng nhau.

- Nếu phân thức có nhiều biến, hãy tập trung phân tích từng biến và sử dụng các kỹ thuật phân tích đa thức như phân tích thành nhân tử.
- Khi có dấu hiệu phân chia phức tạp, tìm mẫu số chung hoặc quy đồng mẫu số trước khi rút gọn.

1. Bài tập: Rút gọn phân thức$\frac{3x^2 - 12}{9x - 36}$với$x \neq 4$.

Giải:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử:
+$3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)$
+$9x - 36 = 9(x - 4)$
- Viết lại phân thức:
$\frac{3(x-2)(x+2)}{9(x-4)}$
- Chia cả tử và mẫu cho$3$:
$= \frac{(x-2)(x+2)}{3(x-4)}$
- Nhận xét: Không thể rút gọn thêm vì không có nhân tử chung nữa.

Vậy,$\frac{3x^2-12}{9x-36} = \frac{(x-2)(x+2)}{3(x-4)},\; x \neq 4$.

1. Rút gọn các phân thức sau (nêu rõ điều kiện xác định):
   a)$\frac{4x^2y}{8xy^2}$
   b)$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$
   c)$\frac{2x^2 - 8}{4x - 16}$
2. Chứng minh các phân thức sau bằng nhau:
   a)$\frac{5x+10}{15}$và $\frac{x+2}{3}$
   b)$\frac{2(x-1)}{6}$và $\frac{x-1}{3}$

• Luôn ghi nhớ điều kiện xác định của phân thức (mẫu số khác$0$).
• Không được rút gọn các số hạng cộng/trừ, chỉ rút gọn các nhân tử chung.
• Phải phân tích đầy đủ tử số và mẫu số thành các nhân tử trước khi rút gọn.
• Không bao giờ được chia cả tử và mẫu cho một biểu thức có thể bằng$0$.
• Kiểm tra lại điều kiện xác định sau khi rút gọn.

Nắm vững cách giải bài toán tính chất cơ bản của phân thức là chìa khóa để làm chủ đại số lớp 8. Hãy luyện tập thường xuyên, chú ý điều kiện xác định, phân tích và rút gọn đúng kỹ thuật, bạn sẽ thành thạo loại bài toán này!