1. Giới thiệu về bài toán tọa độ của một điểm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 8, bài toán về tọa độ của một điểm là một nội dung rất căn bản thuộc Chương 5: Hàm số và Đồ thị. Kiến thức này không chỉ giúp các em làm tốt các bài tập hình học tọa độ mà còn là nền tảng để học tốt các phần nâng cao về hàm số, phương trình, và vẽ đồ thị trong những năm tiếp theo cũng như trong thực tế. Việc thành thạo cách giải bài toán tọa độ của một điểm giúp các em rèn luyện kỹ năng tư duy logic, hình dung không gian và giải quyết các vấn đề liên quan đến chuyển động, vị trí trên mặt phẳng.

2. Đặc điểm của bài toán tọa độ của một điểm

Các bài toán về tọa độ của một điểm thường liên quan đến hệ trục tọa độ Oxy, xác định, tính toán hoặc suy luận vị trí của điểm qua các dữ kiện như: đoạn thẳng, trung điểm, các phép biến hình, tỷ số đoạn thẳng hoặc sử dụng các công thức hình học. Đặc điểm nổi bật là:

• Yêu cầu xác định tọa độ điểm khi biết tọa độ các điểm liên quan (trung điểm, điểm chia đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, đối xứng...).
• Thường vận dụng các công thức tính trung điểm, điểm chia đoạn thẳng, diện tích tam giác từ tọa độ.
• Cần xác lập mối liên hệ giữa các điểm qua các tỉ số hoặc quan hệ hình học.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán tọa độ của một điểm

Muốn giải tốt loại bài này, hãy làm theo chiến lược sau:

1. Vẽ hình minh họa và xác định rõ đề bài yêu cầu gì.
2. Liệt kê các dữ kiện đã cho, liên hệ tới các công thức đã học về tọa độ điểm.
3. Lựa chọn công thức, phương pháp phù hợp (trung điểm, điểm chia đoạn, đối xứng, diện tích,...).
4. Thiết lập phương trình hoặc biểu thức liên quan giữa các điểm.
5. Giải phương trình để tìm tọa độ cần thiết.
6. Kiểm tra lại kết quả (bằng nhiều cách khác nhau nếu có thể).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ xét từng dạng bài toán cụ thể để thấy rõ các bước:

A. Dạng 1: Tìm tọa độ trung điểm

Ví dụ: Cho$A(2,5)$và $B(6,1)$. Tìm tọa độ trung điểm$M$của đoạn thẳng$AB$.

1. Công thức trung điểm:$M\left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)$

Áp dụng:$M\left( \frac{2+6}{2}, \frac{5+1}{2} \right) = M(4,3)$.

B. Dạng 2: Tìm tọa độ điểm chia đoạn theo tỉ số cho trước

Ví dụ: Trên đoạn thẳng$AB$, với$A(1,3)$,$B(9,11)$, điểm$M$chia$AB$theo tỉ số $AM:MB = 2:1$. Tìm tọa độ $M$.

1. Giả sử $M$chia$AB$theo tỉ số $k = \frac{AM}{MB}$.
2. Công thức:$M\left( \frac{x_A + k x_B}{1+k}, \frac{y_A + k y_B}{1+k} \right)$.

Với$k=2$, áp dụng công thức:$M\left( \frac{1+2 \times 9}{1+2}, \frac{3 + 2 \times 11}{1+2} \right) = M(\frac{19}{3}, \frac{25}{3})$.

C. Dạng 3: Tìm tọa độ điểm đối xứng qua trục, qua gốc O hoặc qua một điểm khác

Ví dụ: Tìm tọa độ điểm$B'$ đối xứng với$B(2,-5)$qua gốc$O(0,0)$.

1. Công thức đối xứng qua$O$:$B'(-x_B, -y_B)$.
2. Kết quả:$B'(-2,5)$.

D. Dạng 4: Tìm tọa độ trọng tâm tam giác

Ví dụ: Cho tam giác$ABC$với$A(3,7)$,$B(-1,2)$,$C(4,-4)$. Hãy tìm tọa độ trọng tâm$G$.

1. Công thức trọng tâm:$G\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)$.

Áp dụng:$G\left( \frac{3 + (-1) + 4}{3}, \frac{7+2+(-4)}{3} \right) = G(2,1)$.

E. Dạng 5: Tính diện tích tam giác biết tọa độ ba đỉnh

Công thức diện tích tam giác$ABC$với$A(x_A,y_A)$,$B(x_B,y_B)$,$C(x_C,y_C)$:

$S = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$

(Vận dụng: tính diện tích để suy ra vị trí điểm thỏa mãn yêu cầu nhất định)

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Trung điểm:$M\left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)$
• Điểm chia đoạn theo tỉ số $k$:$M\left( \frac{x_1 + k x_2}{1+k}, \frac{y_1 + k y_2}{1+k} \right)$
• Đối xứng qua$O$:$A'( -x, -y )$
• Trọng tâm tam giác:$G\left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3} \right)$
• Diện tích tam giác:$S = \frac{1}{2}| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) |$

6. Các biến thể thường gặp và cách điều chỉnh chiến lược

• Biến thể 1: Tìm điểm biết trung điểm, tìm 1 điểm khi biết điểm còn lại và trung điểm.
• Biến thể 2: Tìm điểm biết tỷ số chia hoặc điểm thuộc đoạn nối hai điểm với hệ thức khác.
• Biến thể 3: Tìm tọa độ sao cho diện tích, độ dài thỏa mãn điều kiện cho trước.

Khi gặp biến thể, hãy đặt ẩn cho tọa độ cần tìm ($x$,$y$), viết biểu thức liên hệ các điểm theo công thức, từ đó giải hệ phương trình phù hợp.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Cho đoạn thẳng$CD$, biết$C(4, -2)$,$M(2, 3)$là trung điểm của$CD$. Tìm tọa độ điểm$D$.

1. Gọi$D(x, y)$là điểm cần tìm.
2. Theo công thức trung điểm:$M = \left( \frac{4+x}{2}, \frac{-2+y}{2} \right) = (2,3)$.
3. Lập hệ phương trình:$\frac{4+x}{2}=2$;$\frac{-2+y}{2}=3$
4. Giải:$4 + x = 4 \Rightarrow x = 0$,$-2 + y = 6 \Rightarrow y = 8$
5. Vậy$D(0,8)$.

8. Bài tập thực hành

• Bài 1: Cho$A(1,4), B(7,10)$. Tìm tọa độ $M$chia$AB$theo tỉ số $AM:MB=1:2$.
• Bài 2: Cho$C(5,-3)$,$D(9,5)$. Tìm tọa độ điểm$N$là trung điểm$CD$.
• Bài 3: Cho tam giác$A(2,2)$,$B(6,2)$,$C(4,-6)$. Tìm tọa độ trọng tâm$G$.
• Bài 4: Cho$M(2,7)$ đối xứng với$N$qua điểm$O(0,0)$. Tìm tọa độ $N$.
• Bài 5: Cho$P(x;3)$nằm trên đoạn$AB$với$A(0,0)$,$B(6,6)$sao cho$AP=PB$. Tìm$x$.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn vẽ hình minh họa để tránh nhầm lẫn vị trí các điểm.
• Chú ý đúng tỉ số chia đoạn:$k > 0$là chia trong,$k < 0$là chia ngoài.
• Soát lại phép tính, đặc biệt khi cộng, chia hoặc đổi dấu tọa độ.
• Với dạng “tìm một điểm biết trung điểm”, nhớ mở rộng công thức trung điểm thành hệ phương trình hai ẩn.
• Nắm vững các công thức cơ bản, linh hoạt biến đổi khi gặp bài toán mới.