1. Giới thiệu về bài toán trừ hai phân thức cùng mẫu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 8, phân thức đại số là một phần kiến thức vô cùng quan trọng và xuyên suốt, đặt nền tảng cho các vấn đề phức tạp hơn. Đặc biệt, việc trừ hai phân thức cùng mẫu không chỉ là một dạng bài cơ bản mà còn là bước chuẩn bị quan trọng để học sinh xử lý các dạng phân thức khác mẫu và các phép biến đổi nâng cao về sau.

2. Đặc điểm nhận biết bài toán trừ hai phân thức cùng mẫu

Loại bài toán này xuất hiện dưới dạng:

• Hiệu của hai phân thức có cùng mẫu số, ví dụ:$\frac{A(x)}{B(x)} - \frac{C(x)}{B(x)}$
• Phần tử tử số là các đa thức, mẫu số giống hệt nhau.
• Có thể hỏi rút gọn hoặc tính giá trị với giá trị cụ thể của biến.

Dấu hiệu nhận biết: Có hai phân thức cùng mẫu số. Khi đó, việc trừ đồng nghĩa với việc trừ hai tử số.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán trừ hai phân thức cùng mẫu

• Bước 1: Xác định hai phân thức đã cùng mẫu số hay chưa.
• Bước 2: Giữ nguyên mẫu số chung. Thực hiện trừ hai tử số.
• Bước 3: Rút gọn phân thức nếu có thể (chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất nếu xuất hiện).
• Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định (mẫu số khác 0).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phân thức$\frac{3x + 5}{x^2 - 1} - \frac{2x - 1}{x^2 - 1}$

• Bước 1: Xác định mẫu số chung là $x^2 - 1$
• Bước 2: Giữ nguyên mẫu số, trừ hai tử số:$(3x+5)-(2x-1)$
• Bước 3: Tính tử số:$3x+5 - (2x-1) = 3x + 5 - 2x + 1 = x + 6$
• Bước 4: Đưa về phân thức:$\frac{x+6}{x^2-1}$
• Bước 5: Rút gọn (nếu được). Trong ví dụ này,$x+6$và $x^2-1$không rút gọn tiếp.
• Chú ý điều kiện xác định:$x^2 - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1;\x \neq -1$

Kết luận:$\frac{3x + 5}{x^2 - 1} - \frac{2x - 1}{x^2 - 1} = \frac{x+6}{x^2-1}$với$x \neq 1;\x \neq -1$

Ví dụ 2: Tính và rút gọn:$\frac{5x^2-4}{x^2+3x+2} - \frac{6x-7}{x^2+3x+2}$

1. Viết lại phép trừ:$\frac{5x^2-4 - (6x-7)}{x^2+3x+2}$
2. Tử số:$5x^2-4-6x+7 = 5x^2-6x+3$
3. Mẫu số:$x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$
4. Phân tích tử số, kiểm tra khả năng rút gọn:$5x^2-6x+3$không chia hết cho mẫu số nên không rút gọn tiếp.

Kết quả:$\frac{5x^2-4}{x^2+3x+2} - \frac{6x-7}{x^2+3x+2} = \frac{5x^2-6x+3}{x^2+3x+2}$với$x \neq -1; x \neq -2$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổng quát khi trừ hai phân thức cùng mẫu: \\
• $\frac{A(x)}{M(x)} - \frac{B(x)}{M(x)} = \frac{A(x)-B(x)}{M(x)}$
• Kỹ năng thu gọn và xử lý dấu ngoặc khi thực hiện phép trừ tử số.
• Kỹ năng phân tích đa thức (phân tích tử và mẫu thành các nhân tử nếu cần thiết để rút gọn).
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định ($M(x) \neq 0$).

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Dạng cơ bản: Hai phân thức cùng mẫu, chỉ việc trừ tử số.

Dạng nâng cao: Một trong hai phân thức phải quy đồng lại để có cùng mẫu số, ví dụ:

$\frac{A(x)}{B(x)} - \frac{C(x)}{D(x)}$(nếu$B(x) = D(x)$mới thực hiện phép trừ như đã hướng dẫn, còn nếu không hãy quy đồng trước)

Dạng rút gọn sau khi trừ: Có thể phải phân tích tử và mẫu để rút gọn tối đa.

7. Bài tập mẫu giải chi tiết từng bước

Bài tập: Tính và rút gọn:$\frac{2x^2-4x}{x^2-4} - \frac{x^2-4}{x^2-4}$

1. Hai phân thức có cùng mẫu$x^2-4$.
2. Trừ tử số:$(2x^2-4x) - (x^2-4) = 2x^2-4x-x^2+4 = x^2-4x+4$
3. Đưa về phân thức:$\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$
4. Phân tích:$x^2-4x+4=(x-2)^2$;$x^2-4=(x-2)(x+2)$
5. Rút gọn:$\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2},\x \neq 2,\x \neq -2$

Kết luận:$\frac{2x^2-4x}{x^2-4} - \frac{x^2-4}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2},\x \neq 2,\x \neq -2$

8. Bài tập thực hành cho học sinh tự làm

• a)$\frac{4x-1}{x^2+2x+1} - \frac{2x+3}{x^2+2x+1}$
• b)$\frac{7x^3+5}{x^3-1} - \frac{4x^3-3}{x^3-1}$
• c)$\frac{x^2-9}{x^2+3x+2} - \frac{2x-5}{x^2+3x+2}$
• d)$\frac{5x+10}{x^2-25} - \frac{2x+5}{x^2-25}$

Yêu cầu: Trình bày lời giải chi tiết, kiểm tra điều kiện xác định.

9. Mẹo, lưu ý và lỗi sai phổ biến khi làm bài

• Cẩn thận khi bỏ dấu ngoặc trong trừ tử số, tránh đổi dấu sai.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định sau khi rút gọn.
• Phân tích đa thức cẩn thận để rút gọn tối đa khi có thể.
• Nếu mẫu số không giống nhau, phải quy đồng rồi mới thực hiện phép trừ.
• Không bỏ qua bước kiểm tra khả năng rút gọn.
• Giữ bài làm sạch sẽ, rõ ràng từng bước.

Với các chiến lược và lưu ý trên, học sinh hoàn toàn có thể thành thạo cách giải bài toán trừ hai phân thức cùng mẫu trong chương trình Toán 8.