1. Giới thiệu về khái niệm "Chia hai phân thức"

Phân thức đại số là một phần cốt lõi trong đại số trung học cơ sở. Việc hiểu cách chia hai phân thức sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán phức tạp hơn như rút gọn, giải phương trình, ứng dụng vào đại số, hình học và thậm chí các bài thi. Đây còn là kiến thức nền tảng cho các lớp cao hơn như lớp 9, 10 khi bước vào thế giới hàm số, phương trình nâng cao.

2. Định nghĩa chính xác về chia hai phân thức

Cho hai phân thức:

Với$A(x), B(x), C(x), D(x)$là các đa thức và $B(x) \neq 0$,$D(x) \neq 0$,$C(x) \neq 0$.

Khi đó, chia phân thức$P$cho phân thức$Q$ được định nghĩa là:

$\frac{A(x)}{B(x)} \div \frac{C(x)}{D(x)} = \frac{A(x)}{B(x)} \times \frac{D(x)}{C(x)} = \frac{A(x) \cdot D(x)}{B(x) \cdot C(x)}$

Tức là: Muốn chia phân thức thứ nhất cho phân thức thứ hai, ta nhân phân thức thứ nhất với phân thức đảo ngược của phân thức thứ hai.

3. Các bước thực hiện chia hai phân thức – Có ví dụ minh họa

Các bước cơ bản khi chia hai phân thức:

• a) Phân tích các tử, mẫu thành nhân tử nếu có thể.
• b) Đổi phép chia thành phép nhân với phân thức đảo ngược.
• c) Rút gọn các nhân tử giống nhau ở tử và mẫu.
• d) Viết kết quả cuối cùng và chỉ ra điều kiện xác định.

Ví dụ 1

Tính:$\frac{x^2 - 1}{x + 2} \div \frac{x - 1}{x^2 - 4}$

Giải:

1. Phân tích các tử và mẫu:
2. $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$;$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
3. Viết lại bài toán:
4. $\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 2} \div \frac{x - 1}{(x - 2)(x + 2)}$
5. Chuyển phép chia thành nhân với phân thức đảo ngược:
6. $= \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 2} \times \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 1}$
7. Rút gọn các nhân tử giống nhau:
8. -$x-1$ ở tử và mẫu rút gọn.
9. -$x+2$ ở tử và mẫu rút gọn.
10. Còn lại:
11. $\frac{x + 1}{1} \times (x - 2) = (x + 1)(x - 2)$
12. Đáp án:$(x+1)(x-2)$, với điều kiện$x \neq -2, 1, 2$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi chia hai phân thức

- Phân thức chia phải khác 0, tức là $C(x) \neq 0$.
- Sau khi đảo ngược, cần xem xét lại điều kiện xác định của bài toán (các giá trị làm tử/mẫu bằng 0 đều không được phép).
- Luôn rút gọn tối đa kết quả để đơn giản hóa biểu thức.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Chia hai phân thức sử dụng kiến thức về phép nhân, tính chất nghịch đảo, quy tắc rút gọn phân thức và điều kiện xác định. Kiến thức này liên quan trực tiếp với phân số thường, đa thức, phép chia đa thức và giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1:
Tính:$\frac{2x}{x^2 - 9} \div \frac{x + 3}{x^2 - 4x + 3}$

Lời giải:

1. Phân tích các tử và mẫu:
2. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$,$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$
3. Viết lại:
4. $\frac{2x}{(x - 3)(x + 3)} \div \frac{x + 3}{(x - 1)(x - 3)}$
5. Chuyển phép chia thành phép nhân với phân thức đảo:
6. $= \frac{2x}{(x - 3)(x + 3)} \times \frac{(x - 1)(x - 3)}{x + 3}$
7. Rút gọn$x - 3$ ở tử, mẫu,$x + 3$ ở tử, mẫu:
8. $\frac{2x}{1} \times \frac{x - 1}{1} = 2x(x - 1)$
9. Vậy kết quả:$2x(x-1)$, với điều kiện$x \neq 3, -3, 1$.

Bài tập 2:
Tính:$\frac{x^2 - x}{x^2 + x} \div \frac{x}{x - 1}$

Lời giải:

1. Phân tích các tử, mẫu:
2. $x^2 - x = x(x - 1)$,$x^2 + x = x(x + 1)$
3. Viết lại:
4. $\frac{x(x - 1)}{x(x + 1)} \div \frac{x}{x - 1}$
5. Chuyển thành phép nhân với đảo ngược:
6. $= \frac{x(x - 1)}{x(x + 1)} \times \frac{x - 1}{x}$
7. Rút gọn$x$,$x-1$giữa tử, mẫu:
8. $\frac{x-1}{x+1} \times 1 = \frac{x-1}{x+1}$
9. Vậy kết quả:$\frac{x-1}{x+1}$, điều kiện$x \neq 0, -1, 1$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên đổi phép chia thành phép nhân với đảo ngược (nên luôn thực hiện bước này trước khi tính).
• Quên đặt điều kiện xác định cho phân thức (chú ý xem tất cả mẫu số, tử số sau đảo ngược).
• Chưa rút gọn tối đa kết quả.
• Sai sót khi phân tích đa thức thành nhân tử.
• Nhầm lẫn khi rút gọn các nhân tử chung ở tử và mẫu.

8. Tóm tắt và điểm chính cần nhớ

• Chia hai phân thức là nhân phân thức thứ nhất với đảo ngược của phân thức thứ hai.
• Luôn phân tích các tử và mẫu để rút gọn tối đa.
• Chú ý điều kiện xác định mọi lúc.
• Kỹ năng này giúp giải nhiều bài toán về phân thức, phương trình chứa phân thức, và bài thi.

Việc thành thạo chia hai phân thức sẽ giúp các em học tốt hơn môn Toán 8 và những lớp tiếp theo. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để tự tin khi gặp dạng toán này!