1. Giới thiệu về bài toán cộng hai phân thức cùng mẫu

Trong chương trình Toán lớp 8, phân thức đại số là một nội dung quan trọng, giúp học sinh phát triển tư duy về các phép toán với biểu thức có chứa biến. Một trong những kỹ năng cơ bản là cộng hai phân thức cùng mẫu – bước chuẩn bị quan trọng cho các bài toán phức tạp hơn như cộng các phân thức khác mẫu, biến đổi biểu thức đại số và giải phương trình phân thức. Hiểu vững cách giải bài toán cộng hai phân thức cùng mẫu giúp học sinh tự tin giải toán, tránh nhầm lẫn và tăng khả năng vận dụng.

2. Đặc điểm của bài toán cộng hai phân thức cùng mẫu

• Hai phân thức có cùng mẫu số (có thể là hằng hoặc đa thức).
• Tử số là tổng của hai biểu thức (có thể là số hoặc chứa biến).
• Bài toán yêu cầu thực hiện phép cộng hoặc phép cộng-trừ với các phân thức này.

Cấu trúc tổng quát của hai phân thức cùng mẫu là:

$\frac{A}{B} + \frac{C}{B}$

với$A$,$C$là các đa thức (hoặc số),$B \ne 0$là mẫu số chung.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán cộng hai phân thức cùng mẫu

Để giải bài toán này hiệu quả, học sinh cần thực hiện các bước chủ yếu sau:

1. Quan sát mẫu số của hai phân thức. Nếu cùng mẫu, chuyển sang bước tiếp theo.

2. Cộng (hoặc trừ) trực tiếp hai tử số, giữ nguyên mẫu số.

3. Rút gọn tử số (nếu có thể).

4. Nếu tử số và mẫu số có thể chia hết cho một đa thức không đổi, tiếp tục rút gọn phân thức.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử đề bài: Tính giá trị của phân thức sau:

$\frac{2x + 3}{x^2 - 1} + \frac{5x - 4}{x^2 - 1}$

Bước 1: Xác định bài toán thuộc dạng cộng hai phân thức cùng mẫu ($x^2-1$).

Bước 2: Cộng tử số, giữ nguyên mẫu số:

$\frac{2x + 3 + 5x - 4}{x^2 - 1}$

Bước 3: Rút gọn tử số:

$2x + 3 + 5x - 4 = (2x + 5x) + (3 - 4) = 7x - 1$

=> Kết quả:$\frac{7x - 1}{x^2 - 1}$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổng quát:

$\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{A+C}{B}$

$\frac{A}{B} - \frac{C}{B} = \frac{A-C}{B}$

• Kỹ năng rút gọn biểu thức, phân tích đa thức thành nhân tử, kiểm tra và triệt tiêu các hạng tử giống nhau ở cả tử số và mẫu số (nếu có thể chia hết).

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Dạng 1: Cộng/trừ nhiều hơn hai phân thức cùng mẫu.
- Áp dụng các bước như đã hướng dẫn, cộng/trừ tất cả tử số (theo thứ tự từ trái qua phải), giữ nguyên mẫu.
• Dạng 2: Cộng/trừ hai phân thức cùng mẫu nhưng mẫu số là hằng số (không chứa biến).
- Cách làm tương tự, cần thao tác kỹ với các số nguyên.
• Dạng 3: Cộng/trừ hai phân thức cùng mẫu sau khi rút gọn (có xuất hiện bậc cao, dấu ngoặc).
- Chú ý mở ngoặc đầy đủ; nếu có dấu trừ phía trước dấu ngoặc thì phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài mẫu 1: Cộng hai phân thức cùng mẫu

Đề: Tính giá trị biểu thức sau:

$\frac{x + 2}{x^2 + 3x + 2} + \frac{3x - 5}{x^2 + 3x + 2}$

Giải:

Bước 1: Nhận thấy hai phân thức có cùng mẫu là $x^2 + 3x + 2$.

Bước 2: Cộng tử số giữ nguyên mẫu số:

$\frac{(x + 2) + (3x - 5)}{x^2 + 3x + 2} = \frac{x + 2 + 3x - 5}{x^2 + 3x + 2}$

Rút gọn tử số:$x + 3x = 4x$,$2 - 5 = -3$

Kết quả:
$\frac{4x - 3}{x^2 + 3x + 2}$

Kết luận:$\frac{x + 2}{x^2 + 3x + 2} + \frac{3x - 5}{x^2 + 3x + 2} = \frac{4x - 3}{x^2 + 3x + 2}$

8. Bài tập thực hành

1. Tính:

• $\frac{2x}{x-1} + \frac{5}{x-1}$
• $\frac{3x+1}{2x+5} - \frac{4x-2}{2x+5}$
• $\frac{4x^2}{x^2+2x} + \frac{1}{x^2+2x}$
• $\frac{5x - x^2}{x^2 - x} + \frac{x^2 - 7x}{x^2 - x}$

2. Rút gọn các phân thức sau khi thực hiện phép cộng/trừ.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn đảm bảo mẫu số khác 0 trước khi thực hiện phép toán.
• Chỉ cộng (hoặc trừ) tử số, giữ nguyên mẫu số không thay đổi.
• Cẩn thận khi giải các bài toán có dấu trừ phía trước phân thức, cần đổi dấu tất cả các hạng tử trong tử số.
• Luôn kiểm tra khả năng rút gọn phân thức sau khi cộng hoặc trừ.
• Nếu mẫu số là biểu thức có thể phân tích thành nhân tử, nên phân tích để dễ kiểm soát việc rút gọn.

Kết luận: Nắm vững cách giải bài toán cộng hai phân thức cùng mẫu là nền tảng để học tốt đại số lớp 8