Chiến lược giải bài toán Nhận biết trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông có góc nhọn bằng nhau lớp 8

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán nhận biết trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông có góc nhọn bằng nhau là dạng bài điển hình trong chương trình Toán 8. Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra, đề thi học kỳ, nhất là phần hình học. Việc nắm vững cách giải giúp học sinh nâng cao tư duy hình học và củng cố kiến thức nền tảng, dễ dàng chinh phục điểm cao. Đặc biệt, với hơn 42.226+ bài tập luyện tập miễn phí, bạn có cơ hội thực hành và thành thạo dạng bài này.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

• - Đề bài thường cho hai tam giác vuông và một cặp góc nhọn bằng nhau (ví dụ:$\triangle ABC$vuông tại$A$,$\triangle DEF$vuông tại$D$,$\widehat{B} = \widehat{E}$).
• - Các từ khóa quan trọng: "tam giác vuông", "góc nhọn bằng nhau", "đồng dạng", "tính tỷ số cạnh tương ứng".
• - Dạng này dễ nhầm với các trường hợp đồng dạng khác; cần phân biệt rõ KHÔNG phải mọi tam giác vuông đều đồng dạng, mà phải có thêm yếu tố góc nhọn bằng nhau.

2.2 Kiến thức cần thiết

• - Định lý: Hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng (gọi là trường hợp "góc-góc").
• - Quan hệ giữa các góc trong tam giác vuông: Hai góc nhọn phụ nhau.
• - Kỹ năng tính tỷ số các cạnh tương ứng, vận dụng tỉ số đồng dạng.
• - Liên hệ với các chủ đề về đồng dạng, tỷ số lượng giác trong tam giác vuông.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• - Đọc kĩ đề, xác định rõ các tam giác vuông.
• - Xác định góc nhọn bằng nhau và yêu cầu bài toán.
• - Tìm ra dữ liệu cho sẵn (cạnh, góc) và dữ liệu cần tìm.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• - Chọn phương pháp đồng dạng góc-góc cho hai tam giác vuông có góc nhọn bằng nhau.
• - Sắp xếp các bước: (1) Chỉ ra hai góc bằng nhau, (2) Kết luận hai tam giác đồng dạng, (3) Thiết lập tỉ số các cạnh tương ứng.
• - Dự đoán kết quả để đối chiếu sau khi giải.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• - Viết rõ các ý: lý do đồng dạng, cách xác lập tỉ số cạnh.
• - Thay số và tính toán từng bước.
• - Kiểm tra lại kết quả về mặt toán học và ý nghĩa hình học.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

• - Trình bày các bước chặt chẽ theo lý thuyết đồng dạng (góc-góc) của tam giác vuông.
• - Ưu điểm: Rõ ràng, chắc chắn, đúng bản chất hình học.
• - Hạn chế: Có thể tốn nhiều thời gian với các bài phức tạp.
• - Sử dụng khi mới học hoặc khi đề bài yêu cầu giải thích chi tiết.

4.2 Phương pháp nâng cao

• - Sử dụng tính chất tỷ số cạnh trong tam giác vuông có góc nhọn bằng nhau ngay lập tức.
• - Rút gọn phép toán, dùng công thức nhanh khi đã nhận ra rõ hai tam giác đồng dạng.
• - Mẹo: Thuộc lòng tỉ số các cạnh ứng với góc nhọn trong tam giác vuông: Nếu$riangle ABC$vuông tại$A$,$riangle DEF$vuông tại$D$và
  $$orall heta: \\ \widehat{B} = \widehat{E} = \theta$$
  thì:$\frac{BC}{AC} = \frac{EF}{DF}$,$\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}$,…

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho tam giác$ABC$vuông tại$A$, tam giác$DEF$vuông tại$D$. Biết$\widehat{B} = \widehat{E} = 35^\circ$,$AC = 6$cm,$AB = 8$cm,$DF = 10$cm. Tính$DE$,$EF$.

• - Phân tích:$\triangle ABC$vuông tại$A$,$\widehat{B} = 35^\circ$nên$\widehat{C} = 55^\circ$.$\triangle DEF$vuông tại$D$,$\widehat{E} = 35^\circ$nên$\widehat{F} = 55^\circ$.
• - Hai tam giác có một góc vuông và một góc nhọn bằng nhau nên đồng dạng theo trường hợp góc-góc.
• - Ta có $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} \Rightarrow DE = \frac{AB \times DF}{AC} = \frac{8 \times 10}{6} = \frac{80}{6} \approx 13.33$cm.
• - Tương tự, $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} \Rightarrow EF = \frac{DE \times BC}{AB}$. Ta tính $BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$cm. Vì hai tam giác đồng dạng nên $EF = DF \times \frac{BC}{AC} = 10 \times \frac{10}{6} \approx 16.67$cm.
• - Kiểm tra tính hợp lý: Các cạnh tỉ lệ đúng theo đồng dạng, số liệu hợp lý.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Trong các tam giác vuông $ABC$(vuông tại$A$) và $DEF$(vuông tại$D$), biết $\widehat{C} = 60^\circ$, $AB=3$, $AC=3\sqrt{3}$, $DF = 6$, $DE=6\sqrt{3}$. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ và so sánh tỉ số cạnh tương ứng.

• - Phân tích:$\triangle ABC$vuông tại$A$,$\widehat{C}=60^\circ$;$\triangle DEF$vuông tại$D$,$\widehat{F}=60^\circ$(hiển nhiên do hai tam giác vuông và các thông số cạnh đều đối ứng).
• - Nhận xét:$\triangle ABC$và $\triangle DEF$ đều có một góc vuông và một góc nhọn bằng nhau ($60^\circ$), nên đồng dạng theo trường hợp "góc-góc".
• - Tính tỉ số: $\frac{AB}{DF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, $\frac{AC}{DE}=\frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$, nên các cạnh tương ứng của hai tam giác tỉ lệ nhau.
• - Cách giải khác: Sử dụng tỷ số cạnh đối diện các góc nhọn để kiểm tra đồng dạng. Kết quả giống nhau nên các cách đều cho ra nhận xét đúng.

6. Các biến thể thường gặp

• - Dạng hỏi về hai tam giác vuông với các cạnh, góc nhọn không cho trực tiếp mà phải suy luận từ dữ kiện.
• - Dạng yêu cầu lập luận vì sao hai góc nhọn bằng nhau dựa vào các dữ kiện về các góc phụ nhau hoặc tổng các góc tam giác.
• - Biến thể hỏi về tỉ số diện tích, chu vi của hai tam giác đồng dạng.

Cách điều chỉnh chiến lược:
- Luôn kiểm tra hai yếu tố: tam giác vuông và góc nhọn bằng nhau.
- Nếu góc chưa rõ, hãy tính tổng các góc hoặc dùng tính chất góc phụ nhau.
- Nếu thiếu cạnh, lập phương trình dựa vào tỉ số đồng dạng để giải.

Mẹo nhận biết nhanh:
- Nếu hai tam giác vuông mà có một góc nhọn bằng góc nhọn, gần như chắc chắn cần áp dụng trường hợp đồng dạng này.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

• - Nhận diện sai trường hợp đồng dạng do không kiểm tra góc nhọn bằng nhau.
• - Áp dụng sai tỷ số cạnh tương ứng khi lập luận.
• - Khắc phục: Luôn viết rõ lý do hai tam giác đồng dạng rồi mới lập tỉ số cạnh.

7.2 Lỗi về tính toán

• - Sai ở bước lấy căn bậc hai khi tính cạnh huyền.
• - Nhầm lẫn chỗ làm tròn (nên giữ kết quả số thập phân hợp lý).
• - Khi hoàn thành, nên kiểm tra các tỉ số có bằng nhau không để chắc chắn kết quả đúng.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 42.226+ bài tập cách giải Nhận biết trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông có góc nhọn bằng nhau miễn phí ngay tại đây. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập và kiểm tra tiến độ, từ đó cải thiện kỹ năng toán học hiệu quả.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Tuần 1: Học lý thuyết và làm 10 bài tập cơ bản.
- Tuần 2: Làm 10 bài tập biến thể và nâng cao, rà soát lại kiến thức.
- Tuần 3: Tổng kết, tự kiểm tra bằng đề tổng hợp và ghi lại những điểm chưa chắc để ôn lại.
- Mỗi tuần tự đặt mục tiêu hoàn thành số lượng bài tập nhất định.
- Đánh giá tiến bộ qua việc so sánh thời gian làm và tỷ lệ đúng từng tuần.