Blog

Lớp 8

Chiến lược giải bài toán Tính lập phương của một hiệu cho học sinh lớp 8

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán Tính lập phương của một hiệu

Bài toán Tính lập phương của một hiệu thường xuất hiện dưới dạng yêu cầu tính giá trị của biểu thức có dạng(a−b)3(a-b)^3hoặc rút gọn, chứng minh các đẳng thức liên quan. Đây là một trong những dạng bài tập điển hình thuộc chuyên đề hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là hằng đẳng thức lập phương. Dạng bài này xuất hiện dày đặc trong các đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết, đề thi học kỳ và cả bài thi tuyển sinh vào 10 lớp chuyên Toán. Việc nắm vững kỹ năng giải quyết "Tính lập phương của một hiệu" là nền tảng quan trọng giúp học sinh tiếp cận tốt các bài khó hơn như phân tích đa thức, phương trình và bất phương trình chứa lũy thừa bậc 3.

Để thành thạo dạng này, hãy luyện tập thường xuyên với 100+ bài tập cách giải Tính lập phương của một hiệu miễn phí, giúp nâng cao kỹ năng, tự tin chinh phục điểm số cao.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

  • Dấu hiệu nhận biết: có cụm từ “lập phương của một hiệu”, biểu thức hoặc phương trình dạng(a−b)3(a-b)^3,[(x−y)3][(x-y)^3], v.v.
  • Từ khóa cần chú ý: “lập phương”, “hiệu”, “hằng đẳng thức”, “tính nhanh”, "chứng minh".
  • Dễ nhầm với các dạng: lập phương của tổng(a+b)3(a+b)^3, bình phương của hiệu(a−b)2(a-b)^2,... nên cần đọc kỹ yêu cầu.

    • 2.2 Kiến thức cần thiết

  • Hằng đẳng thức đáng nhớ về lập phương của một hiệu:(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
  • Kỹ năng nhân đa thức, cộng, trừ, nhóm hạng tử và tính giá trị biểu thức.
  • Đôi khi liên quan đến nhận diện ẩn dụ hằng đẳng thức, thay số hoặc rút gọn giá trị.

    • 3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

  • Đọc kỹ yêu cầu, xác định rõ cần tính lập phương hiệu nào, các giá trị cho sẵn hoặc biến số cần tìm.
  • Gạch chân hoặc tô đậm từ khóa “lập phương”, “hiệu”, nhắc nhở áp dụng đúng công thức.
  • Xác định đầy đủ dữ liệu có trong đề.

    • 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

  • Chọn áp dụng đúng hằng đẳng thức(a−b)3(a-b)^3hoặc các phương pháp tính nhanh (nếu đề cho số đẹp, có thể nhẩm).
  • Sắp xếp rõ thứ tự các bước: thay số, rút gọn, kiểm tra đầu cuối.
  • Dự đoán dạng kết quả (số nguyên, phân số, biểu thức) để kiểm tra tính hợp lý.

    • 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

  • Triển khai theo công thức: ghi rõ từng bước nhân, cộng trừ cẩn thận.
  • Nếu thay số, kiểm tra kết quả từng bước, không nhảy bước.
  • Đối chiếu lại đáp số với dự đoán ban đầu.

    • 4. Các phương pháp giải chi tiết

    4.1 Phương pháp cơ bản

  • Áp dụng hằng đẳng thức:(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
  • Ưu điểm: tổng quát, áp dụng cho mọi giá trị (a, b), học sinh dễ nhớ quy tắc.
  • Hạn chế: dài khi tính với số lớn, dễ sai dấu hoặc nhầm lẫn giữa hiệu và tổng.
  • Nên dùng khi đề cho giá trị lẻ, biến số hoặc chứng minh biểu thức.

    • 4.2 Phương pháp nâng cao

  • Tách nhỏ bài toán, nhóm hạng tử, nhẩm nhanh với số tròn chục, số có đặc điểm đặc biệt.
  • Ví dụ:(10−3)3=103−3×102×3+3×10×32−33(10-3)^3 = 10^3 - 3 \times 10^2 \times 3 + 3 \times 10 \times 3^2 - 3^3có thể tính nhẩm dần theo từng phần.
  • Ghi nhớ mẹo dấu: hiệu thì dấu giữa các hạng tử lần lượt là “-”, “+”, “-”, "-" (theo công thức).
  • Áp dụng các phép biến đổi lùi bước nếu giá trị quá “xấu”.

    • 5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    5.1 Bài tập cơ bản

  • Đề bài: Tính(5−2)3(5-2)^3
  • Phân tích: Nhận diện dạng(a−b)3(a-b)^3vớia=5,b=2a=5, b=2=> Áp dụng công thức.
  • Lời giải:

    (5−2)3=53−3×52×2+3×5×22−23(5-2)^3=5^3-3 \times 5^2 \times 2+3 \times 5 \times 2^2-2^3

    =125−3×25×2+3×5×4−8=125-3 \times 25 \times 2+3 \times 5 \times 4-8

    =125−150+60−8=(125−150)+(60−8)=125-150+60-8 = (125-150)+(60-8)

    =(−25)+52=27=(-25)+52=27

    Vậy(5−2)3=27(5-2)^3=27.

    • 5.2 Bài tập nâng cao

  • Đề bài: Chứng minh rằng(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3=3(a−b)(b−c)(c−a)(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a).
  • Phân tích: Nhìn thấy tổng của ba lập phương hiệu, có thể áp dụng công thức và nhóm hạng tử.
  • Lời giải:
    Mỗi hạng tử áp dụng hằng đẳng thức:

    (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
    (b−c)3=b3−3b2c+3bc2−c3(b-c)^3 = b^3 - 3b^2c + 3bc^2 - c^3
    (c−a)3=c3−3c2a+3ca2−a3(c-a)^3 = c^3 - 3c^2a + 3ca^2 - a^3

    Cộng tất cả lại:
    a3−b3+b3−c3+c3−a3a^3 - b^3 + b^3 - c^3 + c^3 - a^3hết.
    - Nhóm các hệ số -3 và +3 tương ứng được:
    (−3a2b+3ab2)+(−3b2c+3bc2)+(−3c2a+3ca2)(-3a^2b + 3ab^2) + (-3b^2c + 3bc^2) + (-3c^2a + 3ca^2)
    =3(ab2−a2b+bc2−b2c+ca2−c2a)3(ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a)

    Tách tiếp ra ngoài dấu ngoặc:
    =3[(ab2−a2b)+(bc2−b2c)+(ca2−c2a)]= 3[(ab^2 - a^2b) + (bc^2 - b^2c) + (ca^2 - c^2a)]

    Lấy từng cặp phân tích tiếp:
    =3[a(b2−b2)−a2b+b(c2)−b2c+c(a2)−c2a]= 3[a(b^2-b^2)-a^2b + b(c^2)-b^2c + c(a^2)-c^2a]
    hoặc nhóm thành3(a−b)(b−c)(c−a)3(a-b)(b-c)(c-a)(do tính đối xứng, học sinh thử khai triển kiểm tra).

    Vậy đã chứng minh xong.

    (Thực tế đây là kết quả nổi tiếng, có thể tự kiểm nghiệm với từng số cụ thể, hoặc liên hệ trực tiếp qua chia đa thức đặc biệt.)

    • 6. Các biến thể thường gặp

  • Dạng lập phương tổng: Đọc kỹ tránh nhầm với(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
  • Dạng lồng ghép: Mở rộng thành(2a−3b)3(2a-3b)^3,(x−2)3(x-2)^3hoặc thêm biểu thức phụ.
  • Chú ý điều kiện: Khi bài toán cho giá trị âm, số lớn, phân số, cần kiểm tra kỹ dấu và phép biến đổi.

    • 7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp

  • Nhầm sang công thức lập phương tổng, quên dấu âm.
  • Áp dụng sai thứ tự các hạng tử, nhầm3ab23ab^2thành3a2b3a^2bhoặc ngược lại.
  • Đọc không kỹ đề, chưa xác định rõ hiệu hay tổng.
  • Khắc phục: luôn viết lại công thức chuẩn, kiểm tra logic sau mỗi bước.

    • 7.2 Lỗi về tính toán

  • Nhầm lẫn số mũ, nhân sai hoặc cộng nhầm dấu.
  • Không kiểm tra lại kết quả sau mỗi phép tính.
  • Chốt đáp số khi chưa rút gọn.
  • Khắc phục: làm từng bước rõ ràng, kiểm soát nháp, đối chiếu lại kết quả.

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập 100+ bài tập cách giải Tính lập phương của một hiệu miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức, theo dõi tiến độ làm bài và cải thiện kỹ năng giải toán từng ngày một cách hiệu quả.

    9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • Lịch học mỗi tuần: LUYỆN 3-5 bài/ngày. Tổng kết sau mỗi tuần (chủ động xem lại lỗi) để điều chỉnh kỹ năng.
  • Đặt mục tiêu: trong 2 tuần hoàn thành 100 bài, đạt kết quả đúng trên 80%.
  • Tự đánh giá bằng cách kiểm tra lại đáp án, nhờ thầy cô hoặc bạn bè kiểm tra chéo.
  • Sau mỗi giai đoạn, thử sức với đề thi thực tế để làm quen áp lực thời gian.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".