1. Giới thiệu về bài toán xác định tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ

Bài toán xác định tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Kiến thức này không chỉ giúp học sinh hiểu về hệ trục tọa độ Oxy, mà còn làm nền tảng cho các chủ đề sâu hơn như hình học giải tích, vẽ đồ thị hàm số, tìm khoảng cách giữa hai điểm, xác định vị trí các điểm và mô tả mối quan hệ hình học giữa các yếu tố trên mặt phẳng. Việc nắm vững cách giải bài toán xác định tọa độ giúp học sinh tư duy lôgíc, giải quyết vấn đề và ứng dụng trong thực tiễn, đặc biệt khi mô tả vị trí, chuyển động hoặc các tình huống có liên quan đến không gian hai chiều.

2. Đặc điểm của bài toán xác định tọa độ điểm

- Được đặt trên mặt phẳng Oxy với hai trục vuông góc nhau (trục hoành Ox và trục tung Oy).

- Thường cho thông tin về hình vẽ, quan hệ giữa các điểm (trung điểm, đối xứng, chia đoạn, trên đường thẳng...), độ dài các đoạn thẳng, góc hoặc mối liên hệ với các trục.

- Đôi khi kèm theo các dữ kiện phụ như vị trí đối xứng qua trục, khoảng cách đến trục, hoặc vị trí tương đối với điểm khác.

- Kết quả bài toán là tọa độ một điểm dưới dạng$(x; y)$.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán xác định tọa độ

- Vẽ hình nếu cần thiết để hình dung bài toán.

- Xác định rõ các dữ kiện cho trước: tọa độ các điểm đã biết, quan hệ giữa các điểm, độ dài đoạn thẳng, điều kiện đặc biệt...

- Ghi nhớ và chọn công thức phù hợp: trung điểm, tỷ số đoạn thẳng, khoảng cách, đối xứng...

- Đặt ẩn số cho tọa độ điểm cần tìm nếu cần, sau đó viết biểu thức toán học dựa theo dữ kiện.

- Lập phương trình/công thức, giải tìm tọa độ.

- Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay ngược lại hoặc đối chiếu với hình vẽ.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử đề bài: Cho điểm$A(2; 3)$và điểm$B(6; 7)$. Tìm tọa độ điểm$M$là trung điểm đoạn$AB$.

Bước 1: Xác định ẩn và công thức cần dùng.

Vì $M$là trung điểm đoạn thẳng$AB$, ta sử dụng công thức trung điểm:

$M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$

Bước 2: Áp dụng số liệu vào công thức.

$M\left(\frac{2 + 6}{2}; \frac{3 + 7}{2}\right) = M(4; 5)$

Vậy tọa độ trung điểm$M$là $(4; 5)$.

Bước 3: Kiểm tra lại kết quả nếu cần.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tọa độ trung điểm$M$của$AB$:$M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$
• Tọa độ điểm chia đoạn$AB$theo tỉ lệ $k: 1$:$M\left(\frac{k x_B + x_A}{k+1}; \frac{k y_B + y_A}{k+1}\right)$
• Điểm đối xứng qua trục hoành:$A(x; y) \rightarrow A'(x; -y)$
• Điểm đối xứng qua trục tung:$A(x; y) \rightarrow A'(-x; y)$
• Điểm đối xứng qua gốc O:$A(x; y) \rightarrow A'(-x; -y)$
• Điểm thuộc đường thẳng$y = ax + b$: Thay$x$vào phương trình để tìm$y$(hoặc ngược lại)
• Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_A; y_A)$và $B(x_B; y_B)$: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Tìm điểm chia đoạn theo tỉ số: Đặt ẩn thích hợp, sử dụng công thức chia đoạn đã nêu ở trên.

- Tìm điểm đối xứng qua trục hoặc qua điểm: Sử dụng công thức đối xứng , chú ý dấu của từng thành phần tọa độ.

- Điểm thuộc đường thẳng hoặc nằm vai trò tham số: Đặt ẩn một trong hai tọa độ, sử dụng phương trình đường thẳng hoặc điều kiện cho trước.

- Tìm điểm biết khoảng cách tới điểm/trục: Đặt ẩn, sử dụng công thức khoảng cách và giải phương trình.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho$A(1; 2)$,$B(5; 8)$. Tìm tọa độ điểm$C$ đối xứng với$A$qua trung điểm$M$của$AB$.

• Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm$M$của$AB$:
• $M\left(\frac{1+5}{2}; \frac{2+8}{2}\right) = M(3; 5)$
• Bước 2: Nếu$C$ đối xứng với$A$qua$M$thì $M$là trung điểm$AC$. Đặt$C(x; y)$, ta có:
• $$\left\{\begin{array}{l} \frac{1 + x}{2} = 3 \\ \frac{2 + y}{2} = 5 \\\end{array} \right.$$
• Giải ra:
  $$\left\{\begin{array}{l} x = 5 \\y = 8 \\\end{array} \right.$$
• Vậy$C(5; 8)$.

8. Bài tập thực hành

• Bài 1: Cho$A(-3; 4)$,$B(5; 6)$. Tìm tọa độ trung điểm$M$của$AB$.
• Bài 2: Cho$A(1; 2)$,$B(5; 6)$. Tìm tọa độ điểm$C$sao cho$A$là trung điểm của$BC$.
• Bài 3: Cho điểm$A(2; -1)$, tìm điểm$B$ đối xứng với$A$qua trục hoành.
• Bài 4: Cho điểm$M(x; 3)$thuộc đường thẳng$y = 2x + 1$. Tìm$x$và tọa độ $M$.
• Bài 5: Cho điểm$A(4; -2)$, biết điểm$B$có hoành độ gấp đôi$A$và tung độ bằng đối của tung độ $A$. Tìm tọa độ $B$.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra lại kết quả bằng nhiều cách (thay số lại, đối chiếu với hình vẽ).
• Cẩn thận dấu$+$,$-$trong hoành độ và tung độ, đặc biệt với điểm đối xứng qua trục.
• Vẽ hình phác nhanh để kiểm soát trực quan các dữ kiện.
• Linh hoạt đặt ẩn số phù hợp với yêu cầu bài toán.
• Viết rõ ràng từng bước để hạn chế sai sót và dễ kiểm tra lại.