Chiến lược giải quyết bài toán: Bài 2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác (Toán 8)

1. Giới thiệu về bài toán các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Bài toán về các trường hợp đồng dạng của hai tam giác là phần cốt lõi trong chương HÌNH ĐỒNG DẠNG của Toán 8. Đây là dạng bài cơ bản nhưng đóng vai trò then chốt trong việc vận dụng kiến thức hình học để giải quyết các vấn đề thực tiễn như đo đạc thực địa, vẽ kỹ thuật, hay các bài toán nâng cao hơn về chứng minh, tính toán độ dài và diện tích.

2. Đặc điểm của loại bài toán này

• Tập trung vào việc xác định hai tam giác có đồng dạng hay không dựa vào các yếu tố như góc, cạnh.
• Thường gắn với các trường hợp nhận biết đồng dạng: (G-G), (C-G-C), (C-C-C).
• Xuất hiện các yếu tố tỉ số cạnh tương ứng, góc tương ứng và mối liên hệ giữa các yếu tố này.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

1. Nhận diện cặp tam giác cần kiểm tra đồng dạng dựa vào đề bài.
2. Kiểm tra các yếu tố (cạnh, góc) đã cho trong đề bài để xác định trường hợp đồng dạng phù hợp: (G-G), (C-G-C) hay (C-C-C).
3. Đặt các ký hiệu cạnh, góc rõ ràng lên hình vẽ (nếu đề chưa cho).
4. Lập tỉ số đoạn thẳng và chỉ ra các góc tương ứng nhau.
5. Áp dụng các định lý đồng dạng để kết luận và đưa ra lời giải.

4. Các bước giải quyết chi tiết (Có ví dụ minh họa)

Giả sử bài toán: Cho tam giác$ABC$và tam giác$A'B'C'$, biết rằng:

a)$\angle A = \angle A'$,$\angle B = \angle B'$.
b)$AB = 6cm$,$AC = 8cm$,$A'B' = 9cm$,$A'C' = 12cm$.
Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

1. Viết tỉ số cạnh tương ứng: $\frac{AB}{A'B'} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$;$\frac{AC}{A'C'} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
2. So sánh hai góc tương ứng:$\angle A = \angle A'$,$\angle B = \angle B'$ đã cho.
3. Các cạnh kề hai góc đã biết tỉ số bằng nhau, các góc tương ứng đã bằng nhau → Áp dụng trường hợp đồng dạng (G-C-G):
   
   "Nếu hai tam giác có một góc bằng nhau, hai cạnh kề góc đó tỉ lệ thì hai tam giác đồng dạng."
   
   Vậy $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Ba trường hợp đồng dạng:
  1. Góc – Góc (G-G): Hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng.
  2. Cạnh – Góc – Cạnh (C-G-C): Hai tam giác có hai cạnh tỉ lệ với nhau và góc xen giữa bằng nhau thì đồng dạng.
  3. Cạnh – Cạnh – Cạnh (C-C-C): Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
• Tính chất: “Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau, các cạnh tương ứng tỉ lệ.”
• Ký hiệu đồng dạng: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$
• Tiêu chuẩn tỉ số:$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

Trong thực tế, các bài toán có thể đưa ra các yếu tố khác nhau, yêu cầu bạn nhận diện trường hợp đồng dạng phù hợp:

• Cho sẵn dữ kiện về cạnh, góc (ví dụ: hai góc, ba cạnh, hai cạnh và góc xen giữa).
• Dữ kiện ẩn trong bài toán hình vẽ phức tạp, cần phân tích lại hình và đặt tên các điểm mới (trung điểm, giao điểm, đường cao,...)

Tùy từng trường hợp, bạn cân nhắc chọn đúng tiêu chuẩn đồng dạng và lập tỉ số phù hợp.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài toán: Cho tam giác $ABC$vuông tại$A$, đường cao $AH$cắt$BC$tại$H$. Chứng minh $\triangle ABH \sim \triangle CAH$.

Giải thích từng bước:

1. $\triangle ABH$và $\triangle CAH$có:
2. $\angle BAH = \angle CAH$(góc chung tại$A$)
3. $\angle ABH = \angle HCA = 90^\circ$(Hai góc đều vuông do$AH \perp BC$,$ABC$vuông tại$A$)
4. Vậy hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau ⇒ $\triangle ABH \sim \triangle CAH$ theo trường hợp (G-G).

8. Bài tập thực hành

• Bài 1: Cho$\triangle DEF$,$\triangle D'E'F'$biết$DE = 3cm$,$DF = 5cm$,$D'E' = 6cm$,$D'F' = 10cm$,$\angle D = \angle D'$. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
• Bài 2: Cho hình thang $ABCD$ ($AB // CD$), đường chéo $AC$cắt$BD$tại$O$. Chứng minh $\triangle ABO \sim \triangle CDO$.
• Bài 3: Vẽ hai tam giác có ba cạnh tỉ lệ $(3, 4, 5)$và $(6, 8, 10)$. Chứng minh hai tam giác đồng dạng và xác định cặp cạnh tương ứng.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Không được nhầm lẫn giữa tiêu chuẩn đồng dạng và tiêu chuẩn bằng nhau của tam giác.
• Cần xác định đúng cặp cạnh, góc tương ứng thay vì đặt lộn xộn.
• Vẽ hình cẩn thận, ký hiệu rõ ràng các yếu tố (góc, cạnh...).
• Nên ghi nhớ kỹ thứ tự ký hiệu tam giác trong lập luận đồng dạng.