I. Giới thiệu về bài toán các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Bài toán về các trường hợp đồng dạng của hai tam giác là một trong những chủ đề trọng tâm của chương trình Toán hình học lớp 8. Việc hiểu và áp dụng thành thạo các trường hợp đồng dạng là tiền đề quan trọng để học sinh phát triển tư duy logic, hình thành kỹ năng phân tích và giải quyết vấn đề ở bậc THCS. Nội dung này không chỉ xuất hiện nhiều trong kiểm tra và thi cử mà còn là nền tảng cho nhiều bài toán khó hơn ở chương trình sau.

II. Đặc điểm bài toán các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định xem hai tam giác có đồng dạng không; chỉ ra cặp góc, cặp cạnh tương ứng; tìm hệ số đồng dạng; hoặc sử dụng tính chất đồng dạng để tính độ dài, diện tích, chứng minh các đẳng thức, v.v. Đặc điểm chung là đề bài sẽ cung cấp các dữ kiện liên quan đến góc, cạnh hoặc sự song song giữa các đường thẳng.

III. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Đọc kỹ đề, xác định hai tam giác cần xét.
• Phân tích các yếu tố đã biết: các cặp góc, cạnh được cho.
• Vẽ hình minh hoạ (nếu chưa có).
• Lựa chọn trường hợp đồng dạng phù hợp (góc - góc (AA), cạnh - góc - cạnh (SAS), cạnh - cạnh - cạnh (SSS)).
• Thiết lập các cặp tương ứng và kiểm tra đủ điều kiện đồng dạng.
• Áp dụng tính chất tam giác đồng dạng để giải quyết yêu cầu của đề.

IV. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$, $DE \parallel BC$, $D \in AB, E \in AC$. Chứng minh $\triangle ADE \sim \triangle ABC$.

• Bước 1: Nhận dạng hai tam giác$ADE$và $ABC$.
• Bước 2: Đề bài cho$DE \parallel BC$nên$\widehat{ADE} = \widehat{ABC}$(hai góc so le trong),$\widehat{DEA} = \widehat{BCA}$(hai góc so le trong).
• Bước 3: Như vậy, hai tam giác $ADE$và $ABC$có hai góc tương ứng bằng nhau nên$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ theo trường hợp góc - góc (AA).

Ví dụ 2: Cho tam giác $MNP$có $MN = 6cm$, $MP = 9cm$, $NQ = 8cm$, $PQ = 12cm$. Chứng minh $\triangle MNP \sim \triangle QNP$.

• Bước 1: Nhận diện hai tam giác$MNP$và $QNP$(chúng có chung một góc tại$N$).
• Bước 2: Ta có $\frac{MN}{NQ} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$,$\frac{MP}{PQ} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
• Bước 3: Hai tam giác có hai cặp cạnh tỉ lệ và góc giữa hai cạnh ấy bằng nhau nên $\triangle MNP \sim \triangle QNP$ theo trường hợp cạnh - góc xen giữa - cạnh (SAS).

V. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

1. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác:
- Góc - góc (AA): Hai tam giác đồng dạng nếu có hai góc bằng nhau từng đôi một.
- Cạnh - góc xen giữa - cạnh (SAS): Hai tam giác đồng dạng nếu có 1 góc bằng nhau và 2 cặp cạnh kề tỉ lệ.
- Cạnh - cạnh - cạnh (SSS): Hai tam giác đồng dạng nếu ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

- Các tam giác đồng dạng có: $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$
- Nếu $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$và hệ số đồng dạng là $k$, thì $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'} = k$.
- Diện tích hai tam giác đồng dạng có tỉ số là bình phương hệ số đồng dạng: $\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}} = k^2$.

VI. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Bài toán có thể đưa ra:
- Cho trước góc, cạnh hoặc các dữ kiện về song song, phân giác, trung tuyến, đường cao…
- Yêu cầu chứng minh đồng dạng, tính cạnh, tỷ số, diện tích; hoặc chứng minh quan hệ hình học.
Chiến lược vẫn là xác định hai tam giác, tra cứu dữ kiện, chọn trường hợp đồng dạng phù hợp và trình bày logic.

VII. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho tam giác$ABC$,$AD$là đường phân giác của$riangle ABC$($D \in BC$). Biết$AB = 8cm$,$AC = 6cm$,$BD = 4cm$. Tính$DC$.

• Bước 1: Theo tính chất đường phân giác:$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
• $\Rightarrow \frac{8}{6} = \frac{4}{DC}$.
• $\Rightarrow 8 \times DC = 6 \times 4$.
• $\Rightarrow DC = \frac{24}{8} = 3cm$.

Bài 2: Trong$riangle ABC$,$DE$là đường thẳng song song với$BC$, cắt$AB$tại$D$,$AC$tại$E$. AB = 10 cm, AD = 6 cm, AC = 12 cm. Tính AE.

• Áp dụng định lý đường thẳng song song cắt 2 cạnh của tam giác, ta có $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$.
• Thay số vào:$\frac{6}{10} = \frac{AE}{12} \Rightarrow AE = \frac{6}{10} \times 12 = 7.2$cm.

VIII. Bài tập thực hành

1. Cho$riangle DEF$có $DE = 4$,$DF = 6$,$EF = 8$. Một tam giác$D' E' F'$có $D'E' = 6$,$D'F' = 9$,$E'F' = 12$. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

2. Cho $riangle ABC$, $AM$là trung tuyến. Gọi$G$là trọng tâm. Chứng minh$\triangle AMG \sim \triangle AMC$.

3. Cho$riangle XYZ$,$XY = 7cm$,$XZ = 14cm$,$YZ = 10cm$. Trong tam giác$ABC$ đồng dạng với$riangle XYZ$có $AB = 14cm$. Tìm chu vi tam giác$ABC$.

IX. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Đừng nhầm lẫn thứ tự các cặp cạnh/góc tương ứng khi trình bày.
• Kiểm tra xem hai tam giác có đủ điều kiện áp dụng trường hợp đồng dạng không trước khi kết luận.
• Bố trí hình vẽ rõ ràng, ký hiệu góc/cạnh chính xác.
• Chú ý hệ số đồng dạng và ảnh hưởng đến tỉ số diện tích.
• Khi các yếu tố song song xuất hiện, nghĩ ngay đến các cặp góc bằng nhau do so le trong hoặc đồng vị.
• Một số bài toán giả thiết khá 'ẩn', cần suy luận thêm từ dữ kiện góc hoặc đường phụ (phân giác, đường cao, trung tuyến...) để chỉ ra các góc/cạnh phù hợp.

Kết luận

Qua việc nắm vững chiến lược và các kỹ thuật giải bài toán các trường hợp đồng dạng của hai tam giác, học sinh sẽ tự tin giải quyết nhiều dạng toán hình học ở chương trình lớp 8. Khi luyện tập thường xuyên với các ví dụ đa dạng, kỹ năng phân tích và trình bày bài toán sẽ được nâng cao đáng kể.