1. Giới thiệu về bài toán đồng dạng cạnh-góc-cạnh

Trong chương trình Toán 8, nhận biết các trường hợp đồng dạng của hai tam giác là một chủ điểm then chốt của hình học. Trong đó, trường hợp đồng dạng cạnh-góc-cạnh (c.g.c) đóng vai trò vô cùng quan trọng, bởi việc xác định được hai tam giác đồng dạng sẽ giúp các em giải đáp nhiều dạng toán khác như: tính cạnh, góc, chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ, chứng minh hai đường thẳng song song, v.v. Hiểu và giải được các bài toán về trường hợp đồng dạng c.g.c là nền tảng quan trọng để phát triển tư duy logic và vận dụng linh hoạt kiến thức hình học.

2. Đặc điểm của bài toán đồng dạng cạnh-góc-cạnh

• Có hai tam giác cho trước:$\triangle ABC$và $\triangle DEF$.
• Bạn được cung cấp thông tin về hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, và góc xen giữa hai cạnh này trong từng tam giác tương ứng bằng nhau.
• Nhiệm vụ là xác định (chứng minh) hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.g.c.

Ví dụ: Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$khi$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$và $\angle BAC = \angle EDF$.

3. Chiến lược tổng thể khi giải quyết bài toán nhận biết đồng dạng c.g.c

Để thành công khi gặp bài toán nhận biết trường hợp đồng dạng cạnh-góc-cạnh, bạn cần tuân thủ các điểm then chốt sau:

• Xác định rõ hai tam giác cần chứng minh đồng dạng.
• Tìm hai cặp cạnh tương ứng giữa hai tam giác và kiểm tra xem liệu các cạnh đó có tỉ lệ với nhau hay không.
• Kiểm tra góc xen giữa của hai cạnh đó có bằng nhau không.
• Kết luận: Nếu thỏa mãn cả hai điều kiện trên, hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.g.c.

4. Các bước giải quyết chi tiết và ví dụ minh họa

Hãy cùng làm rõ cách giải bài toán nhận biết trường hợp đồng dạng cạnh-góc-cạnh qua một ví dụ cụ thể.

Ví dụ minh họa:

Cho $\triangle ABC$và $\triangle DEF$; biết rằng $AB = 4$cm,$AC = 6$cm,$DE = 8$cm,$DF = 12$cm và $\angle BAC = \angle EDF = 60^\circ$. Chứng minh rằng $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (theo trường hợp c.g.c).

• Bước 1: Xác định hai tam giác và các cặp cạnh tương ứng.
  Cạnh$AB$ ứng với$DE$,$AC$ ứng với$DF$.
• Bước 2: Kiểm tra tỉ số hai cặp cạnh tương ứng:
  -$\frac{AB}{DE} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
  -$\frac{AC}{DF} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
• Bước 3: Kiểm tra góc xen giữa:
  $\angle BAC = \angle EDF = 60^\circ$
• Bước 4: Kết luận hai tam giác đồng dạng:
  Vì có hai cặp cạnh tỉ số bằng nhau, và góc xen giữa bằng nhau, nên $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ theo trường hợp c.g.c.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Điều kiện đồng dạng tam giác theo cạnh-góc-cạnh:
  Có hai tam giác $\triangle ABC$và $\triangle DEF$, khi:
  - $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$
  - $\angle BAC = \angle EDF$
  thì $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (c.g.c)
• Khi hai tam giác đồng dạng, các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, các cặp góc tương ứng bằng nhau.
  
  $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$
• Nếu biết hai tam giác đồng dạng, bạn có thể tính độ dài một cạnh chưa biết dựa vào tỉ số đồng dạng giữa các cạnh.

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

Không phải lúc nào cũng được cho trực tiếp hai cặp cạnh và góc xen giữa, các bài toán có thể có biến thể như:

• Phải tính toán cạnh/góc thông qua các dữ kiện phụ mới tìm được hai cặp cạnh tương ứng và góc xen giữa.
• Bài toán yêu cầu chứng minh hai đường thẳng song song dựa vào đồng dạng tam giác.
• Bài toán chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ dựa vào đồng dạng tam giác.

Khi gặp bài toán này, hãy luôn hỏi:
- Đã chứng minh rõ ràng hai cặp cạnh tỉ số chưa?
- Đã xác định đúng góc xen giữa thuộc hai cạnh đó chưa?

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập mẫu 1

Cho$\triangle ABC$và $\triangle A'B'C'$. Biết$AB = 8$,$AC = 10$,$A'B' = 12$,$A'C' = 15$, và $\angle BAC = \angle B'A'C'$. Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.g.c.

• Bước 1: Tìm các cặp cạnh tương ứng:
  $AB$và $A'B'$,$AC$và $A'C'$.
• Bước 2: Xét tỉ số:
  $\frac{AB}{A'B'} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
  $\frac{AC}{A'C'} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
• Bước 3: Kiểm tra góc xen giữa:
  $\angle BAC = \angle B'A'C'$(đã cho)
• Kết luận: Hai tam giác đồng dạng theo c.g.c vì có hai cặp cạnh tỉ số bằng nhau và góc xen giữa bằng nhau.

Bài tập mẫu 2

Cho tam giác$ABC$có $AB = 5$cm,$AC = 7.5$cm, và $\angle BAC = 50^\circ$. Tam giác$A'B'C'$có $A'B' = 10$cm,$A'C' = 15$cm,$\angle B'A'C' = 50^\circ$. Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.g.c.

• $\frac{AB}{A'B'} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
• $\frac{AC}{A'C'} = \frac{7.5}{15} = \frac{1}{2}$
• $\angle BAC = \angle B'A'C' = 50^\circ$
• Kết luận: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ theo trường hợp c.g.c.

8. Bài tập thực hành

Các em hãy giải các bài tập sau theo các bước đã hướng dẫn:

• Bài 1: Cho$\triangle ABC$có $AB = 6$cm,$AC = 9$cm,$\angle BAC = 70^\circ$; và $\triangle DEF$có $DE = 12$cm,$DF = 18$cm,$\angle EDF = 70^\circ$. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
• Bài 2: Cho $\triangle XYZ$và $\triangle MNP$có $XY = 7$cm,$XZ = 5.6$cm,$MN = 10.5$cm,$MP = 8.4$cm, và $\angle YXZ = \angle NM P$. Chứng minh $\triangle XYZ \sim \triangle MNP$.
• Bài 3: Cho$\triangle GHI$có $GH = 5$cm,$GI = 8$cm,$\angle HGI = 45^\circ$;$\triangle KLM$có $KL = 10$cm,$KM = 16$cm,$\angle LKM = 45^\circ$. Chứng minh$\triangle GHI$và $\triangle KLM$ đồng dạng.

9. Mẹo tránh sai lầm khi giải bài toán đồng dạng c.g.c

• Luôn kiểm tra xem góc cho là góc xen giữa hai cạnh đã xét hay chưa. Nếu không đúng vị trí góc xen giữa hai cạnh cần xét lại.
• Kiểm tra cẩn thận cặp cạnh xác định có tương ứng thực sự hay chưa, tránh nhầm cạnh.
• So sánh tỉ số cạnh và đảm bảo các cạnh nằm về cùng phía so với góc xen giữa.
• Không suy diễn vội vã khi chỉ mới biết hai cặp cạnh tỉ lệ mà chưa có góc xen giữa.
• Luyện tập nhiều bài toán khác nhau để nhận diện linh hoạt các trường hợp c.g.c giữa hai tam giác.