1. Giới thiệu về bài toán xác định các yếu tố của hình thang

Trong chương trình Toán 8, xác định các yếu tố của hình thang là dạng bài toán hình học cơ bản và thường gặp. Các yếu tố cần xác định có thể gồm: đáy lớn, đáy nhỏ, hai cạnh bên, đường cao, diện tích, chu vi,... Kỹ năng này không chỉ giúp nắm chắc lí thuyết hình thang mà còn làm nền tảng cho các bài toán hình học phức tạp hơn. Việc thành thạo cách giải bài toán xác định các yếu tố của hình thang còn giúp các em phát triển tư duy logic, khả năng lập luận và vận dụng công thức toán học linh hoạt.

2. Đặc điểm của bài toán xác định các yếu tố của hình thang

Loại bài toán này thường cho một số yếu tố (ví dụ: hai đáy và chiều cao, hoặc diện tích và một đáy, v.v.), yêu cầu tính các yếu tố còn lại. Một số dạng cụ thể bao gồm:

• Cho các cạnh và đường cao, tìm diện tích hoặc chu vi.
• Cho diện tích, một cạnh, đường cao, tìm các yếu tố còn lại.
• Các trường hợp đặc biệt như hình thang cân, hình thang vuông có thêm yếu tố vuông góc, cân đối giúp giải nhanh hơn.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để xử lý hiệu quả dạng toán này, học sinh nên áp dụng chiến lược sau:

• Đọc kỹ đề bài, xác định chính xác các yếu tố đã cho và yêu cầu tìm.
• Vẽ hình chính xác, ký hiệu rõ ràng các yếu tố (bằng ký hiệu:$ABCD$,$AB$là đáy lớn,$CD$là đáy nhỏ,...)
• Ghi nhớ các công thức liên quan (xem mục 5).
• Liên kết các yếu tố đã cho với các công thức phù hợp; nếu cần phải đặt ẩn số.
• Giải toán bằng lập phương trình hoặc thay số vào công thức.
• Kiểm tra lại kết quả (bằng cách thay ngược lại vào đề để đảm bảo hợp lý).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử đề bài: "Cho hình thang$ABCD$($AB // CD$), biết$AB = 10$cm,$CD = 6$cm, chiều cao$h = 4$cm. Tính diện tích và chu vi hình thang."

Bước 1: Vẽ hình, ký hiệu yếu tố đã biết và cần tìm

Vẽ hình thang$ABCD$với$AB$và $CD$là hai đáy, chiều cao$h$nối từ $C$hoặc$D$xuống cạnh đáy$AB$. Ghi chú các kích thước đã cho lên hình.

Bước 2: Ghi lại các công thức cần thiết

Diện tích hình thang:$S = \frac{(a + b) \times h}{2}$với$a, b$là hai đáy. Chu vi:$C = a + b + c + d$($c, d$là các cạnh bên).

Bước 3: Áp dụng công thức để tìm các yếu tố

Với$a = 10$cm,$b = 6$cm,$h = 4$cm:

- Diện tích:

$S = \frac{(10 + 6) \times 4}{2} = \frac{16 \times 4}{2} = 32 (cm^2)$

- Chu vi:

Tạm thiếu hai cạnh bên ($c$và $d$). Nếu giả sử hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. Khi đó dùng định lý Pythagoras:

Với hình thang cân ($ABCD$,$AB // CD$,$AD = BC$): Gọi$M$,$N$lần lượt là hình chiếu của$C$,$D$lên$AB$. Độ dài mỗi cạnh bên:

$AD = BC = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 + \left(\frac{10 - 6}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4{,}47\ (cm)$

Chu vi:

$C = AB + CD + 2 \times AD = 10 + 6 + 2 \times 4{,}47 \approx 24{,}94\ (cm)$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Các công thức quan trọng:

• Diện tích hình thang:$S = \frac{(a + b) \times h}{2}$
• Chu vi:$C = a + b + c + d$
• Cạnh bên hình thang cân: $AD = BC = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}$
• Hình thang vuông có cạnh bên vuông góc đáy:
  $$h = cạnh$$
  gắn
  vuông góc.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

• Hình thang cân: Các cạnh bên bằng nhau, áp dụng định lý Pythagoras để tìm cạnh.
• Hình thang vuông: Có một cạnh bên vuông góc với đáy, chiều cao bằng cạnh ấy.
• Cho diện tích và các yếu tố ít phổ biến khác (ví dụ: cho 3 cạnh, tìm yếu tố còn lại), cần đặt ẩn và lập phương trình giải.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1:

Cho hình thang$MNPQ$($MN // PQ$), biết$MN = 8$cm,$PQ = 4$cm, chiều cao$h = 5$cm. Cạnh bên$MP = NQ = 6$cm. Tính diện tích và chu vi hình thang.

- Diện tích:

$S = \frac{(MN + PQ) \times h}{2} = \frac{(8 + 4) \times 5}{2} = \frac{12 \times 5}{2} = 30\ (cm^2)$

- Chu vi:

$C = MN + PQ + MP + NQ = 8 + 4 + 6 + 6 = 24\ (cm)$

8. Bài tập luyện tập

• Hình thang$EFGH$có hai đáy$EF = 14$cm,$GH = 10$cm, cạnh bên$EG = FH = 8$cm. Biết chiều cao bằng$6$cm. Tính diện tích và chu vi.
• Một hình thang vuông$JKLM$, biết$JK = 7$cm (đáy lớn),$LM = 3$cm (đáy nhỏ),$KL = 5$cm (cạnh bên vuông góc đáy). Tính chiều cao, diện tích và chu vi.
• Cho diện tích hình thang$ABCD$là $48\cm^2$, hai đáy$AB = 10$cm,$CD = 14$cm, tìm chiều cao.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn vẽ hình rõ ràng, ký hiệu đầy đủ các yếu tố đã cho và cần tìm.
• Phân biệt đúng hai đáy, hai cạnh bên và đường cao trong hình.
• Chỉ áp dụng công thức $AD = BC = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}$ cho hình thang cân.
• Khi chưa đủ dữ kiện, hãy đặt ẩn và lập phương trình giải toán.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay số vào công thức ban đầu để phát hiện sai sót.
• Cẩn thận đơn vị, đặc biệt khi tính diện tích ($cm^2$) và chu vi ($cm$).