1. Giới thiệu về bài toán Bình phương của một tổng, một hiệu

Bài toán về bình phương của một tổng ($(a + b)^2$), một hiệu ($(a - b)^2$) là một trọng tâm của chương trình Toán lớp 8. Đây là ứng dụng trực tiếp của các hằng đẳng thức đáng nhớ, xuất hiện nhiều trong bài tập đại số, biến đổi biểu thức, giải phương trình và nhiều dạng toán khác. Việc nắm chắc cách giải bài toán bình phương của một tổng, một hiệu giúp học sinh dễ dàng biến đổi và tính toán nhanh chóng, chính xác.

2. Đặc điểm của dạng bài toán bình phương của một tổng, một hiệu

• Dạng toán thường xuất hiện ở các bài yêu cầu khai triển, rút gọn biểu thức hoặc chứng minh đẳng thức.
• Mang tính chất lặp lại công thức, chỉ cần nhớ và áp dụng chính xác là giải được.
• Thường liên kết với các dạng toán nâng cao hơn như: phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình bậc hai, bài toán chứng minh.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán bình phương của một tổng, một hiệu

Để giải hiệu quả các bài tập liên quan đến bình phương của một tổng, hiệu, học sinh cần:

1. Thuộc lòng công thức hằng đẳng thức:$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$,$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
2. Xác định rõ các thành phần$a$,$b$trong biểu thức.
3. Áp dụng đúng công thức và khai triển các dấu ngoặc.
4. Rút gọn, sắp xếp biểu thức kết quả nếu có thể.

4. Các bước giải chi tiết kèm ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khai triển biểu thức$(3x + 2y)^2$.

1. Nhận diện:$a = 3x$,$b = 2y$.
2. Áp dụng công thức:$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
3. Tính$a^2 = (3x)^2 = 9x^2$,$b^2 = (2y)^2 = 4y^2$,$2ab = 2imes3ximes2y = 12xy$.
4. Kết quả:$(3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$.

Ví dụ 2: Khai triển biểu thức$(4a - 5b)^2$.

1. Nhận diện:$a = 4a$,$b = 5b$.
2. Áp dụng công thức:$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
3. Tính$a^2 = (4a)^2 = 16a^2$,$b^2 = (5b)^2 = 25b^2$,$2ab = 2 \times 4a imes 5b = 40ab$.
4. Kết quả:$(4a - 5b)^2 = 16a^2 - 40ab + 25b^2$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

Các công thức hằng đẳng thức quan trọng nhất:

$<br />(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2<br />$

$<br />(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 <br />$

Một số mẹo nhỏ:
- Nhân nhanh các biểu thức có dạng tổng hoặc hiệu bằng cách thuộc lòng công thức.
- Luôn kiểm tra lại dấu (+/-) ở phần trung tâm ($\boldsymbol{2ab}, \boldsymbol{-2ab}$) để tránh sai sót.
- Khi bài toán chứa nhiều biến, hãy thay lần lượt các thành phần vào công thức để tránh rối.

6. Các biến thể bài toán và thích ứng chiến lược

Ngoài khai triển đơn thuần, dạng toán này có nhiều biến thể:

• Bài toán chứng minh: Biến đổi biểu thức về dạng bình phương tổng hoặc hiệu để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
• Bài toán tính giá trị biểu thức: Thay số vào trước, sau đó vận dụng khai triển.
• Bài toán rút gọn biểu thức: Kết hợp nhiều biểu thức có dạng bình phương tổng, hiệu rồi rút gọn.

Khi gặp biến thể, học sinh nên quay lại từng thành phần, xác định rõ $a$,$b$, vận dụng đúng công thức và đơn giản hóa cẩn thận.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Khai triển và rút gọn$(2x - 3y)^2 + (3y - 2x)^2$.

1. Khai triển$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2imes2ximes3y + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$.
2. Khai triển$(3y - 2x)^2 = (3y)^2 - 2imes3yimes2x + (2x)^2 = 9y^2 - 12xy + 4x^2$.
3. Cộng hai kết quả:$(4x^2 - 12xy + 9y^2) + (9y^2 - 12xy + 4x^2) = (4x^2 + 4x^2) + (9y^2 + 9y^2) + (-12xy - 12xy) = 8x^2 + 18y^2 - 24xy$.

Bài tập 2: Cho$a = 2$,$b = 5$. Tính giá trị của$(a+b)^2 - (a-b)^2$.

1. $(a+b)^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times 5 + 5^2 = 4 + 20 + 25 = 49$.
2. $(a-b)^2 = 2^2 - 2 \times 2 \times 5 + 5^2 = 4 - 20 + 25 = 9$.
3. $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 49 - 9 = 40$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Khai triển$(5x + 4y)^2$.
2. Khai triển và rút gọn$(2a - b)^2 + (b - 2a)^2$.
3. Tính giá trị biểu thức$(m-3n)^2$tại$m = 4, n = -2$.
4. Chứng minh$(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2x^2 + 2y^2$.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn chú ý dấu$+$,$-$ ở phần$2ab$.
• Ưu tiên sắp xếp các thành phần$a^2$,$2ab$,$b^2$theo thứ tự để dễ kiểm tra.
• Bài toán cho kết quả âm, cẩn thận khi thế số vào$b$hoặc$a$là các giá trị âm.
• Nếu khai triển xong mà kết quả không thoả mãn bài toán, hãy kiểm tra lại các bước thay thế biến.