1. Giới thiệu về bài toán lập bảng thống kê và tầm quan trọng

Bài toán lập bảng thống kê là một trong những dạng bài rất thường gặp trong chương trình Toán lớp 8. Đây không chỉ là kiến thức nền tảng giúp học sinh làm quen với cách thu thập, xử lý số liệu mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng quan sát và phân tích dữ liệu. Việc hiểu và thành thạo cách giải bài toán lập bảng thống kê còn giúp các em chuẩn bị tốt hơn cho các chủ đề về xác suất, thống kê và các bài toán thực tiễn sau này.

2. Đặc điểm của bài toán lập bảng thống kê

• Mục tiêu là tổ chức, xử lý, trình bày dữ liệu dạng bảng để nhìn nhận thông tin một cách trực quan, chính xác.
• Dữ liệu ban đầu có thể là số liệu rời rạc hoặc đã được nhóm.
• Bảng thống kê thường bao gồm: Các giá trị (hoặc lớp giá trị), Tần số, Tần suất, Cộng gộp tần số, Số liệu cộng dồn…
• Các bài toán thường yêu cầu: Lập bảng, tính tổng, tìm tần số lớn nhất, nhỏ nhất, xác định số trung bình cộng, xác định mốt, v.v.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán lập bảng thống kê

Sau đây là các bước tiếp cận cơ bản mà học sinh nên sử dụng khi làm dạng bài này:

1. Đọc kỹ đề bài, xác định rõ các số liệu và yêu cầu đặt ra.
2. Liệt kê (hoặc đánh dấu) các giá trị (hoặc nhóm giá trị) và kiểm tra số liệu đã đủ chưa.
3. Đếm tần số (số lần xuất hiện) của từng giá trị.
4. Lập bảng thống kê theo mẫu chuẩn (giá trị - tần số - tần suất…)
5. Tính các chỉ số yêu cầu (trung bình cộng, mốt, phương sai,...) nếu bài yêu cầu.
6. Kiểm tra lại tổng tần số so với số liệu ban đầu để tránh thiếu/sai sót.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Xét ví dụ:
Một lớp học có điểm kiểm tra Toán 8 của 20 học sinh như sau:
8, 7, 6, 8, 9, 7, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 7, 8, 6, 9, 7, 8, 6, 7
Yêu cầu: Lập bảng tần số các điểm số đã cho và tính trung bình cộng.

Hướng dẫn:

1. Liệt kê các giá trị xuất hiện: 5, 6, 7, 8, 9.
2. Đếm tần số:
   - 5 xuất hiện 2 lần
   - 6 xuất hiện 5 lần
   - 7 xuất hiện 6 lần
   - 8 xuất hiện 5 lần
   - 9 xuất hiện 2 lần
3. Lập bảng thống kê:
4. Tính trung bình cộng:

Ta có bảng:

- Giá trị $x_i$| Tần số $n_i$
- 5 | 2
- 6 | 5
- 7 | 6
- 8 | 5
- 9 | 2
(Tổng tần số:$2 + 5 + 6 + 5 + 2 = 20$phù hợp tổng số học sinh)

Cách tính trung bình cộng:

$\overline{x} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i} = \frac{5 \times 2 + 6 \times 5 + 7 \times 6 + 8 \times 5 + 9 \times 2}{20}$

$= \frac{10 + 30 + 42 + 40 + 18}{20} = \frac{140}{20} = 7$

Vậy điểm trung bình cộng là 7.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tính trung bình cộng:
  $\overline{x} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$
  Trong đó: $x_i$là giá trị,$n_i$là tần số của giá trị $x_i$.
• Cách tính tần số, tần suất:
  Tần số = số lần xuất hiện; Tần suất (%)$= \frac{n_i}{n} \times 100$.
• Mốt (mode): Giá trị xuất hiện nhiều nhất.
• Kiểm tra tổng tần số bằng tổng số mẫu (dữ liệu đầu vào) để tránh sót.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Số liệu cho dưới dạng nhóm (lớp): Cần đếm số liệu thuộc từng nhóm, ghi rõ khoảng giá trị.
• Yêu cầu vẽ biểu đồ: Sau khi lập bảng thống kê phải lựa chọn biểu đồ phù hợp (cột, đoạn thẳng, hình quạt...).
• Bài toán yêu cầu tìm giá trị trung vị (median): Cần xếp số liệu theo thứ tự rồi áp dụng định nghĩa trung vị.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập mẫu:
Điểm kiểm tra Tiếng Anh của 24 học sinh:
6, 7, 5, 8, 8, 6, 7, 5, 8, 9, 6, 9, 7, 7, 6, 8, 7, 5, 6, 8, 7, 7, 6, 8
Yêu cầu:
1) Lập bảng tần số cho từng điểm số.
2) Tính điểm trung bình cộng.

Giải từng bước:

1. Liệt kê các giá trị: 5, 6, 7, 8, 9.
2. Tần số:
   5: 3 lần
   6: 6 lần
   7: 7 lần
   8: 6 lần
   9: 2 lần
3. Lập bảng:
   - Giá trị | Tần số
   - 5 | 3
   - 6 | 6
   - 7 | 7
   - 8 | 6
   - 9 | 2
   (Tổng$3+6+7+6+2 = 24$)
4. Tính trung bình cộng:
   $\overline{x} = \frac{5 \times 3 + 6 \times 6 + 7 \times 7 + 8 \times 6 + 9 \times 2}{24} = \frac{15+36+49+48+18}{24} = \frac{166}{24} \approx 6.92$
   Điểm trung bình khoảng 6,92.

8. Bài tập thực hành

1. Số học sinh trong một lớp thích các môn học sau:
   - Toán: 10 em
   - Ngữ văn: 8 em
   - Tiếng Anh: 7 em
   - Lý: 5 em
   - Sinh: 4 em
   Hãy lập bảng thống kê số học sinh thích từng môn học, tính tổng số học sinh và xác định môn học được yêu thích nhất.
2. Tổng kết số quyển sách mỗi học sinh đọc trong tháng:
   Số quyển: 1, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3, 3, 2
   Lập bảng tần số và tính số trung bình sách mỗi học sinh đã đọc.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai sót

• Gạch đầu dòng hoặc viết nháp từng lần đếm tần số để không bị sót/nhầm lẫn.
• Luôn kiểm tra tổng tần số phải bằng tổng số dữ liệu ban đầu.
• Chú ý nếu số liệu là nhóm (lớp khoảng), chỉ lấy trong đúng khoảng được yêu cầu.
• Dùng bảng rõ ràng, đề mục dễ nhìn, điều này giúp trình bày điểm tốt hơn.
• Cẩn thận khi thực hiện các phép nhân và cộng tần số để tránh tính sai trung bình cộng.