Blog

Lớp 8

Cộng hai phân thức cùng mẫu – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 8

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Cộng hai phân thức cùng mẫu là một trong những kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Hiểu và vận dụng thành thạo phép cộng này giúp học sinh phát triển khả năng làm việc với phân thức đại số, từ đó nâng cao kỹ năng giải phương trình, bất phương trình cũng như ứng dụng trong các chủ đề toán học khác.

Việc nắm chắc khái niệm này không chỉ giúp học tốt môn Toán ở bậc THCS mà còn thuận lợi cho việc học tập ở các lớp trên và giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến phân số, tỉ lệ, chia sẻ tài nguyên… Đặc biệt, bạn có thể luyện tập hoàn toàn miễn phí với 42.226+ bài tập, giúp củng cố và kiểm tra hiểu biết của mình ngay lập tức!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Phân thức đại số là biểu thức có dạngAB\frac{A}{B}vớiAA,BBlà các đa thức trong đó B≠0B \ne 0. Khi hai phân thức có cùng mẫu số, phép cộng của chúng thực hiện đơn giản như cộng hai phân số cùng mẫu.

  • - Định nghĩa: Cộng hai phân thức cùng mẫu là phép cộng hai phân thức có mẫu giống hệt nhau.
  • - Điều kiện: Mẫu số của phân thức phải khác00.
  • - Tính chất: Tổng của hai phân thức cùng mẫu vẫn là một phân thức có cùng mẫu số.

    • 2.2 Công thức và quy tắc

    Công thức cộng hai phân thức cùng mẫu:

    AM+BM=A+BM,M≠0\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}, \quad M \neq 0
    Hình minh họa: Biểu đồ thanh phân đoạn minh họa phép cộng hai phân thức cùng mẫu a/c + b/c = (a+b)/c qua ví dụ cụ thể 2/5 + 3/5 = (2+3)/5 = 5/5, với mỗi thanh chia thành 5 phần bằng nhau và tô màu phần tử số tương ử
    Biểu đồ thanh phân đoạn minh họa phép cộng hai phân thức cùng mẫu a/c + b/c = (a+b)/c qua ví dụ cụ thể 2/5 + 3/5 = (2+3)/5 = 5/5, với mỗi thanh chia thành 5 phần bằng nhau và tô màu phần tử số tương ử
  • - Để ghi nhớ: Chỉ cần giữ nguyên mẫu chung, cộng tử.
  • - Lưu ý: Áp dụng đúng khi hai phân thức có mẫu giống nhau hoàn toàn.
  • - Biến thể: Cũng áp dụng cho trường hợp mẫu là các biểu thức phức tạp, miễn sao giống nhau.

    • 3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Cho hai phân thức3xx2+1\frac{3x}{x^2+1}và 2x+5x2+1\frac{2x+5}{x^2+1}. Hãy tính tổng:

    \frac{3x}{x^2+1} + \frac{2x+5}{x^2+1}

    Giải từng bước:

  • Bước 1: Kiểm tra mẫu số có giống nhau không (x2+1x^2+1). Đúng.
  • Bước 2: Giữ nguyên mẫu, cộng tử số:
    • \frac{3x + (2x+5)}{x^2+1} = \frac{5x+5}{x^2+1}

    Lưu ý: Luôn để ý điều kiệnx2+1≠0x^2+1 \neq 0, nghĩa là xxcó thể nhận mọi giá trị thực.

    Hình minh họa: Đồ thị hàm số f(x) = x² + 1, cho thấy f(x) luôn > 0 với mọi x ∈ R (điều kiện x² + 1 ≠ 0) và điểm cực tiểu tại (0, 1)
    Đồ thị hàm số f(x) = x² + 1, cho thấy f(x) luôn > 0 với mọi x ∈ R (điều kiện x² + 1 ≠ 0) và điểm cực tiểu tại (0, 1)

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Cho hai phân thức:x−4x2−4x+7\frac{x-4}{x^2-4x+7}và 2x+6x2−4x+7\frac{2x+6}{x^2-4x+7}. Tìm tổng rút gọn:

    \frac{x-4}{x^2-4x+7} + \frac{2x+6}{x^2-4x+7}
  • Giữ nguyên mẫu, cộng tử số:
    • \frac{(x-4) + (2x+6)}{x^2-4x+7} = \frac{3x+2}{x^2-4x+7}
    Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = x² - 4x + 7 với đỉnh tại (2, 3), minh họa giá trị hàm luôn dương (y_min = 3 > 0) và không có nghiệm thực do Δ = -12 < 0
    Đồ thị hàm số y = x² - 4x + 7 với đỉnh tại (2, 3), minh họa giá trị hàm luôn dương (y_min = 3 > 0) và không có nghiệm thực do Δ = -12 < 0
  • Kiểm tra điều kiện xác định:x2−4x+7≠0x^2-4x+7 \neq 0với mọixx, vì biểu thức này luôn lớn hơn 0.

    • - Kỹ thuật nhanh: Cảm nhận mẫu số giống hệt, tập trung cộng tử và rút gọn nếu cần.

    Hình minh họa: Đồ thị hàm số f(x) = x² - 4x + 7 trên khoảng [-2, 6], minh họa điểm đỉnh tại (2, 3) với f(2)=3 và cho thấy f(x)>0 với mọi x (không cắt trục hoành y=0).
    Đồ thị hàm số f(x) = x² - 4x + 7 trên khoảng [-2, 6], minh họa điểm đỉnh tại (2, 3) với f(2)=3 và cho thấy f(x)>0 với mọi x (không cắt trục hoành y=0).
    Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = x² + 1 luôn lớn hơn 0 với mọi x ∈ ℝ, minh họa điểm cực tiểu tại (0,1) và khẳng định điều kiện x²+1 ≠ 0
    Đồ thị hàm số y = x² + 1 luôn lớn hơn 0 với mọi x ∈ ℝ, minh họa điểm cực tiểu tại (0,1) và khẳng định điều kiện x²+1 ≠ 0

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • - Nếu mẫu số chứa biến, cần xác định miền xác định để tránh trường hợp mẫu số bằng 0.
  • - Nếu tử số có thể rút gọn, nên thực hiện rút gọn ở bước cuối để đơn giản hóa kết quả.

    • Có thể gặp trường hợp liên hệ với phép trừ, hoặc với mẫu số là hằng số thay vì chứa biến.

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • - Nhầm lẫn giữa cộng hai phân thức cùng mẫu và khác mẫu. Phải chắc chắn mẫu giống hệt nhau.
  • - Quên điều kiện mẫu khác 0, cần xác định điều kiện xác định của phân thức trước khi tính toán.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • - Gộp tử số sai dấu hoặc nhầm lẫn khi phân tích biểu thức.
  • - Quên rút gọn tử số nếu có thể.
  • - Cách kiểm tra kết quả: Thay thử giá trị vào phân thức để kiểm tra hợp lý, hoặc đối chiếu với cách làm khác.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

    Bạn có thể truy cập ngay 42.226+ bài tập Cộng hai phân thức cùng mẫu miễn phí, không cần đăng ký. Bấm vào đây để bắt đầu luyện tập, theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng một cách hiệu quả mà không mất chi phí!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • - Công thức:AM+BM=A+BM\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A+B}{M},M≠0M \neq 0.
  • - Chỉ cộng tử, giữ nguyên mẫu khi mẫu giống hệt nhau.
  • - Xác định rõ điều kiện xác định trước khi thực hiện phép cộng.
  • - Kiểm tra kết quả, rút gọn tử nếu có thể.

    • Checklist ôn tập: Nắm chắc lý thuyết, thuộc lòng công thức, hiểu điều kiện áp dụng, luyện tập đều đặn và tự kiểm tra phương pháp giải.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".