1. Giới thiệu về khái niệm Cộng, trừ đơn thức đồng dạng

Trong chương trình toán học lớp 8, học sinh làm quen với biểu thức đại số – nền tảng quan trọng để học sâu hơn các kiến thức đại số và giải toán sau này. Một trong những kiến thức cơ bản và thường gặp là phép cộng, trừ đơn thức đồng dạng. Việc hiểu và thành thạo khái niệm này giúp các em đơn giản hóa biểu thức, giải phương trình, bất phương trình, và học tốt hơn các phần chuyên sâu về đa thức.

2. Định nghĩa: Đơn thức đồng dạng là gì?

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một phần, là tích của một số với (các) biến lũy thừa nguyên không âm. Ví dụ:$3x^2y$,$-7a^2b$.

Hai đơn thức được gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng phần biến (cùng các biến và số mũ tương ứng với từng biến). Nói cách khác, hai đơn thức chỉ khác nhau phần hệ số.

Ví dụ,$4x^2y$và $-3x^2y$là hai đơn thức đồng dạng, còn$2xy^2$và $2x^2y$không đồng dạng vì phần biến khác nhau.

Vậy, khi cộng hoặc trừ đơn thức đồng dạng, ta cộng hoặc trừ các hệ số của chúng với nhau và giữ nguyên phần biến.

3. Hướng dẫn từng bước cộng, trừ đơn thức đồng dạng

Các bước thực hiện phép cộng, trừ đơn thức đồng dạng có thể tóm tắt như sau:

Bước 1: Xác định các đơn thức đồng dạng – Chỉ cộng, trừ các đơn thức cùng phần biến.

Bước 2: Cộng, trừ các hệ số tương ứng của đơn thức đồng dạng, giữ nguyên phần biến.

Ví dụ 1:
Tính:$(3x^2y) + (4x^2y)$

- Nhận xét: Hai đơn thức đều có phần biến là $x^2y$, nên đồng dạng.
- Lấy hệ số cộng lại:$3 + 4 = 7$

Vậy:$(3x^2y) + (4x^2y) = 7x^2y$

Ví dụ 2:
Tính:$(-5ab^2) - (3ab^2)$

Hai đơn thức đồng dạng vì đều có phần biến là $ab^2$:

- Trừ hệ số:$-5 - 3 = -8$

Vậy:$(-5ab^2) - (3ab^2) = -8ab^2$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

* Trường hợp cộng/trừ ba hoặc nhiều đơn thức đồng dạng:
Vẫn cộng, trừ các hệ số lại với nhau. Ví dụ:
$(2x^3) + (3x^3) - (x^3) = (2 + 3 - 1)x^3 = 4x^3$

* Nếu hệ số tổng bằng 0:
Kết quả là đơn thức$0$. Ví dụ:
$(7y^2z) - (7y^2z) = 0$

* Đơn thức không đồng dạng chỉ "đi kèm".
Ví dụ:$5ab + 2a^2b$không cộng/trừ được vì phần biến khác nhau, hãy giữ nguyên hai đơn thức.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Việc cộng, trừ đơn thức đồng dạng là bước đầu để hiểu cách cộng, trừ các đa thức (chính là tổng nhiều đơn thức). Ngoài ra, kiến thức này giúp các em rút gọn biểu thức, giải phương trình và làm việc với các phép toán phức tạp hơn trong đại số. Hiểu rõ về đơn thức, khái niệm đồng dạng sẽ hỗ trợ tốt khi học các chương tiếp theo về đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử...

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1. Tính tổng và hiệu sau:

a)$(6x^2y) + (2x^2y)$

b)$(3a^3b^2) - (8a^3b^2)$

Lời giải:

a)$6x^2y$và $2x^2y$ đồng dạng, cộng hệ số:
$6 + 2 = 8$
Vậy:$(6x^2y) + (2x^2y) = 8x^2y$

b)$3a^3b^2$và $8a^3b^2$ đồng dạng, trừ hệ số:
$3 - 8 = -5$
Vậy:$(3a^3b^2) - (8a^3b^2) = -5a^3b^2$

Bài 2. Rút gọn biểu thức:$4xy - 2yx + xy$

Lời giải:

Nhận xét:$xy$và $yx$là giống nhau do phép nhân các biến có tính chất giao hoán. Ta có ba đơn thức đồng dạng:
$4xy$,$-2xy$(vì $-2yx = -2xy$) và $xy$.

Cộng các hệ số:
$4 + (-2) + 1 = 3$

Vậy:$4xy - 2yx + xy = 3xy$

Bài 3. Trong biểu thức$2x^2y - 3xy^2 + 5x^2y - xy^2$, hãy rút gọn.

Lời giải:
Nhóm các đơn thức đồng dạng:

-$2x^2y$và $5x^2y$ đồng dạng.$2 + 5 = 7$
-$-3xy^2$và $-xy^2$ đồng dạng.$-3 + (-1) = -4$

Vậy:$2x^2y - 3xy^2 + 5x^2y - xy^2 = 7x^2y - 4xy^2$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Không kiểm tra phần biến mà cộng/trừ các đơn thức không đồng dạng.
- Không chú ý đến dấu trước các đơn thức khi thực hiện trừ.
- Nhầm lẫn phép nhân biến (ví dụ $xy$và $yx$là như nhau).
- Quên cộng, trừ hệ số đúng cách (đặc biệt với số âm).

Cách tránh: Luôn kiểm tra phần biến, xác định rõ nhóm các đơn thức đồng dạng trước khi cộng, trừ.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Đơn thức đồng dạng là các đơn thức có cùng phần biến.
• Chỉ cộng/trừ được các đơn thức đồng dạng bằng cách cộng/trừ hệ số, giữ nguyên phần biến.
• Cộng/trừ nhiều đơn thức đồng dạng cùng lúc bằng cách cộng/trừ tất cả hệ số.
• Phần biến giống nhau, dù thứ tự các biến khác (do phép nhân có tính giao hoán).
• Nắm vững khái niệm này giúp học sinh giải bài toán rút gọn, phân tích và cộng trừ đa thức.