1. Giới thiệu về cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu

Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu là kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 8. Đây là một trong những bài học cơ bản, giúp học sinh vận dụng thành thạo các phép toán với phân thức đại số, là nền tảng cho các bài toán nâng cao hơn như giải phương trình, bất phương trình có phân thức.

Thành thạo phép cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu giúp học sinh giải nhanh các bài toán phân thức, đồng thời phát triển tư duy logic và kỹ năng biến đổi biểu thức đại số.

2. Định nghĩa chính xác

Cho hai phân thức cùng mẫu$\dfrac{A}{M}$và $\dfrac{B}{M}$(với$M \neq 0$), tổng và hiệu của chúng được xác định như sau:

• Cộng hai phân thức cùng mẫu:
• $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$
• Trừ hai phân thức cùng mẫu:
• $\frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{A - B}{M}$

Lưu ý: Mẫu chung$M$phải khác 0 với mọi giá trị biến xét đến.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ làm mẫu bài toán về cộng và trừ hai phân thức cùng mẫu:

Ví dụ 1: Cộng hai phân thức cùng mẫu

Cho hai phân thức$\frac{2x+3}{x-1}$và $\frac{5x-4}{x-1}$.

Cộng hai phân thức này ta làm như sau:

Bây giờ, ta cộng các tử số:

Kết quả:

Ví dụ 2: Trừ hai phân thức cùng mẫu

Cho hai phân thức$\frac{x^2-4}{x+2}$và $\frac{2x}{x+2}$.

Tính hiệu hai phân thức:

Sắp xếp lại tử số:

Kết quả:

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Khi tử số kết quả bằng 0:

- Khi mẫu số chung chứa biến, cần xác định điều kiện xác định của phân thức (mẫu khác 0).

- Luôn rút gọn kết quả nếu có thể (bằng cách phân tích tử và mẫu rồi chia cho ƯCLN nếu có).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Cộng, trừ phân thức cùng mẫu là bước đầu trong việc thực hiện các phép toán với phân thức đại số.

- Kỹ năng này sẽ hỗ trợ việc cộng, trừ hai phân thức khác mẫu (bằng quy đồng mẫu), giải phương trình chứa phân thức, rút gọn biểu thức đại số...

- Có liên hệ chặt chẽ với phép cộng, trừ phân số ở Tiểu học, chỉ khác đây là các biểu thức đại số hơn là các số cụ thể.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính$\frac{4x-3}{x+5} + \frac{2x+7}{x+5}$

Lời giải:

Bài tập 2: Tính$\frac{9-a}{a-2} - \frac{2a+1}{a-2}$

Lời giải:

Bài tập 3: Với$x \neq 3$, tính$\frac{2x}{x-3} - \frac{5x}{x-3}$và rút gọn kết quả.

Lời giải:

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Không cộng/trừ đúng các tử số (dẫn đến sai sót trong đáp án).

- Quên đặt dấu ngoặc khi trừ (ví dụ $\frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{A-(B)}{M}$, nên phải chú ý đến dấu của$B$).

- Không xác định điều kiện mẫu khác 0.

- Không rút gọn hoặc thu gọn kết quả cuối cùng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Phép cộng và trừ hai phân thức cùng mẫu rất đơn giản: chỉ cộng (hoặc trừ) các tử số, giữ nguyên mẫu số.

- Luôn xác định điều kiện của phân thức (mẫu khác 0).

- Chú ý dấu khi thực hiện phép trừ, đặc biệt với tử số là biểu thức.

- Kết quả cần được rút gọn nếu có thể.